A véletlen
A véletlen, mint matematikai fogalom

A mindennapi életben számtalanszor szerepet kap a véletlen, van amikor ki is mondjuk:

 - Micsoda véletlen, hogy összetalálkoztunk!

 - Véletlenül otthon felejtettem a könyvemet.

 - Nincs véletlenül egy piros ceruzád?

Ilyen és hasonló mondatokat gyakran hallunk és mondunk. A véletlent általában szeszélyesnek tartják az emberek. Mindenkinek van elképzelése arról, hogy mi a véletlen, de a pontos megfogalmazása nem egyszerű.

A következőkben a véletlen matematikai használatát néhány szemléletesen érthető fogalommal világítjuk meg.
Gyakran találkozunk mindenki számára sokszor, függetlenül megismételhető kísérlettel, amelynek kimenetele nem jósolható meg egyértelműen. Ilyen például a lottóhúzás, egy dobókocka feldobása, kártyázó felek között a kártyalapok kiosztása.

Tanárunk egy pénzérmét 16-szor egymás után feldobott. A kísérlet kimenetelét lejegyezte úgy, hogy a fejdobások esetén F-et, míg az írásdobások esetén I-t írt fel a táblára a dobások sorrendjében. Ezután egy tanuló két további 16 hosszú F-I sorozatot írt a táblára. Amikor az osztály tanulói megérkeztek a terembe a tábla tartalma a következő volt:
FFIIFFIIFFIIFFII
FFIIIIFFFFIIIIFF
IFIIFIFFIFFIIIIF
Ha fogadnunk kellene arra, hogy melyik sorozatot írta fel tanárunk, akkor melyikre fogadnánk?

Az első két sorozatban sok szabályosságot fedezhetünk fel. Az első periodikus, a második szimmetrikus. Tapasztalatunk alapján a harmadikra fogadnánk.

Tanárunk dobókockával tizenkétszer dobott, és a táblára sorba feljegyezte a dobott számokat (a kísérlete kimenetelét). Egy tréfás tanuló felírt még két másik lehetséges kimenetelt. Amikor az osztályterembe léptek a többiek, akkor a következő volt a táblakép:
123456654321
242162455316
111111666666
Mire tippelnénk, melyik volt tanárunk feljegyzése?

Ismét természetes kételkedni az első és a harmadik sorban. Ezeket inkább a tanuló feljegyzésének gondoljuk. Tippünk a második sor.

Az eseménytér és az esemény definíciója
Véletlen, esemény- bevezetés

Egy kísérlet kimeneteléről több állítást fogalmazhatunk meg, amelyekről a kísérlet végén el tudjuk dönteni, hogy igaz-e vagy hamis-e.

Erre is adunk néhány példát (állításaink mögött álló kísérlet könnyen kitalálható):

a) Az 1, 2, 7, 17 és 78 számokat kihúzzák a lottón.

b) Dobókockával történő dobásunk eredménye páros lesz.

c) Dobókockával történő dobásunk eredménye hét lesz.

d) Kártyázás közben az osztásnál kapunk ászt.

Az események fogalmán érdemes elgondolkodnunk. Tegyük fel, hogy két azonosan kinéző dobókockánk van (nevezzük elsőnek és másodiknak ezeket), és egyszerre dobjuk fel mindkettőt. Egy lehetséges kimenetel az, hogy az első dobókocka egyet mutat, a második pedig ötöt. Ezt a kimenetelt nem tudjuk megkülönböztetni attól, amikor az első dobókocka mutat ötöt, és a második egyet. (Feltesszük, hogy a dobás folyamán nem követjük rendkívüli figyelemmel a két repülő kockát.) Így „az első dobókocka ötöt, a másik egyet mutat” nem esemény. Ezen kísérlet esetén az, hogy „az egyik dobókocka ötöt, a másik egyet mutat”, egy esemény lesz. Azaz a kísérlet végeredményét látva nem biztos, hogy a teljes kimenetelt ki tudjuk találni.

Esemény, eseménytér fogalma

Általában a kísérlet elvégzése előtt az állításunk igaztartalma nem dönthető el. (Van kivétel, hiszen a c) állítás is ilyen. Tudjuk, hogy biztosan hamis.) Ezekre az állításokra azt mondjuk, hogy véletlen, vagy valószínűségi események. Az eseményeket nagy betűvel fogjuk jelölni. (Például A esemény: Egy kártyalapot húztunk, és az király lett.)
A c) esemény biztosan nem következik be. Az ilyen eseményeket lehetetlen eseményeknek nevezzük. Jele: ∅ A biztosan bekövetkező, biztos eseményre is adhatunk példát: Az ötös lottó nyerőszámai között van olyan, amely nem köbszám. A biztos esemény jele: I
Valamely kísérlet összes kimenetele egy halmazt alkot. Ezt nevezzük eseménytérnek. Egy esemény azonosítható azon kimenetelekkel, amelyek esetén az esemény bekövetkezik. Azaz az események az eseménytér részhalmazai.
Ha egy kísérlet során két azonos dobókockát dobunk fel, akkor a lehetséges kimenetelek halmaza 36 elemű lesz: {(1,1), (1,2), …, (6,6)}. Az {(1,2)} egyelemű részhalmaz nem esemény, mert nem tudjuk eldönteni, hogy a dobás végén egy egyest és egy kettest látva, az első kockán van az egyes vagy a másodikon. A „B: a két dobott szám azonos” egy esemény, amely leírható az {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} részhalmazzal.

Azon eseményeket, amelynek egyik részhalmaza sem esemény, elemi eseményeknek nevezzük.
Gyakran a kísérlet eredménye helyett csak egy a kísérlethez tartozó paraméter érdekes számunkra.
a) A legkisebb kihúzott lottószám.
b) A kiosztott hetes lapok száma.
Ezeknek a paramétereknek az értéke a kísérlet kimenetelével változik. Ezeket véletlen, vagy valószínűségi változóknak nevezzük.

A relatív gyakoriság
A relatív gyakoriság fogalmának bevezetése

A mindennapi életben is használjunk a valószínű szót. Néhány példa:
- Nem tartotta valószínűnek, hogy megint ő felel történelemből.
- Siessünk haza, mert valószínűleg nemsokára esni fog az eső.
- Valószínűtlennek tűnik, hogy megnyerheti ezt a versenyt.
Tapasztalatunk azt mondja, hogy bizonyos események valószínűbbek, mint mások. A fenti példák eseményei matematikai kereteink között nem tárgyalhatók, azok nem valószínűségi eseményekről szólnak: konkrét helyzetekre vonatkoznak, a hozzájuk tartozó kísérletek nem ismételhetők meg többször.
Ennek ellenére érzéseink alapján a matematikai valószínűségek is mérhetők, összehasonlíthatók.
A lottószámokat tartalmazó gömbből egy számot kihúzunk. Legyen A és B a következő esemény:
A: a 90-es számot húzzuk ki,
B: páros számot húzunk ki.
Melyik a valószínűbb esemény?
Azon kimenetelek esetén, amikor az A esemény bekövetkezik, a B esemény is automatikusan teljesül. A 44-es szám kihúzásával a B esemény bekövetkezik, míg az A esemény nem. Azt mondjuk: a B bekövetkezése valószínűbb.

Dobókockával dobunk egyszer. Legyen C és D a következő két esemény:
: dobásunk eredménye kisebb, mint 3,
D: dobásunk eredménye nagyobb, mint 4.
Melyik esemény valószínűsége nagyobb?

Aki többször játszott dobókockával, bizonyára észrevette, hogy a dobókocka szemközti lapján lévő két szám összege minden esetben hét. A fenti kérdés megválaszolásához gondoljuk azt, hogy két gyerek is figyeli a dobást, amely egy üvegasztal felületén történik. Az egyik gyerek a szokott módon figyeli a kimenetelt. A másik gyerek az asztal alatt fekve néz felfelé, így ő a dobókocka alján lévő számot látja, ezt tekinti a dobás eredményeként. A második gyerek igazából egy másik kísérletet figyel meg. A felső, illetve az alsó szám követése között egy szabványos dobókocka esetén nincs lényegi különbség. Ha az első gyerek azt látja, hogy a C esemény bekövetkezett, akkor a másik gyerek éppen a D esemény bekövetkezését könyveli el. Ez alapján jogos úgy éreznünk, hogy a két esemény valószínűsége nem különbözik.
A relatív gyakoriság definíciója

Már eddigi vizsgálódásaink során is többször megtörtént, hogy egy kísérletet sokszor el kellett végeznünk. A sok végrehajtás sok eredményre vezetett. Gyakran az eredmény csak egy szám volt. Ilyenkor az eredmények számsokaságot alkotnak. Ezeket a számsokaságokat statisztikai tanulmányaink során már vizsgáltuk. Láttuk, hogy a lehetséges értékek gyakoriságainak feltüntetése hasznosabb, mint az összes eredmény felsorolása. A gyakoriságok összege a számsokaságunkban lévő elemek száma. Esetünkben ez az a szám, ahányszor elvégeztük a kísérletet. Ez különböző esetben különböző lehet, így nehéz az eredmények összehasonlítása.

Érdemes relatív gyakoriságokkal dolgoznunk. Egy érték relatív gyakorisága a gyakoriságának értéke elosztva a sokaság elemszámával. Azaz a relatív gyakoriság azt mutatja meg, hogy egy adott érték az összes elem hányad részét alkotja.
Feladat és megoldás: kockadobás eredményei

Dobókockával dobjunk 120-szor. Az eredményekről készítsünk táblázatot a relatív gyakoriságot feltüntetve!

Az általunk elvégzett dobások alapján a következő táblázatot készítettük el:
a dobott szám 1 2 3 4 5 6
gyakoriság 18 23 19 22 21 17
relatív gyakoriság 0,15 0,192 0,158 0,183 0,175 0,142
Ezt a kísérletet már nagyon nagy számban is elvégezték. A különböző elvégzések különböző helyeken, különböző időben történtek. Azt tapasztaljuk, hogy minden egyes érték relatív gyakorisága egy szám körül ingadozik.
Ezen kísérlet esetén mindegyik lehetséges eredmény relatív gyakorisága az 1/6 szám körül ingadozik.

Más kísérletek esetén is hasonló tapasztalattal rendelkezünk (természetesen akkor az ingadozás is más érték körül történhet).
Hogy azt az értéket jól láthassuk, amely körül az ingadozás történik, nagyon sokszor el kell végeznünk a kísérletet. Azt ajánljuk, hogy megbízható értékhez több ezres számban végezzük el a kérdéses kísérletet.