A v�letlen
A v�letlen, mint matematikai fogalom

A mindennapi �letben sz�mtalanszor szerepet kap a v�letlen, van amikor ki is mondjuk:

 - Micsoda v�letlen, hogy �sszetal�lkoztunk!

 - V�letlen�l otthon felejtettem a k�nyvemet.

 - Nincs v�letlen�l egy piros ceruz�d?

Ilyen �s hasonl� mondatokat gyakran hallunk �s mondunk. A v�letlent �ltal�ban szesz�lyesnek tartj�k az emberek. Mindenkinek van elk�pzel�se arr�l, hogy mi a v�letlen, de a pontos megfogalmaz�sa nem egyszer�.

A k�vetkez�kben a v�letlen matematikai haszn�lat�t n�h�ny szeml�letesen �rthet� fogalommal vil�g�tjuk meg.
Gyakran tal�lkozunk mindenki sz�m�ra sokszor, f�ggetlen�l megism�telhet� k�s�rlettel, amelynek kimenetele nem j�solhat� meg egy�rtelm�en. Ilyen p�ld�ul a lott�h�z�s, egy dob�kocka feldob�sa, k�rty�z� felek k�z�tt a k�rtyalapok kioszt�sa.

Tan�runk egy p�nz�rm�t 16-szor egym�s ut�n feldobott. A k�s�rlet kimenetel�t lejegyezte �gy, hogy a fejdob�sok eset�n F-et, m�g az �r�sdob�sok eset�n I-t �rt fel a t�bl�ra a dob�sok sorrendj�ben. Ezut�n egy tanul� k�t tov�bbi 16 hossz� F-I sorozatot �rt a t�bl�ra. Amikor az oszt�ly tanul�i meg�rkeztek a terembe a t�bla tartalma a k�vetkez� volt:
FFIIFFIIFFIIFFII
FFIIIIFFFFIIIIFF
IFIIFIFFIFFIIIIF
Ha fogadnunk kellene arra, hogy melyik sorozatot �rta fel tan�runk, akkor melyikre fogadn�nk?

Az els� k�t sorozatban sok szab�lyoss�got fedezhet�nk fel. Az els� periodikus, a m�sodik szimmetrikus. Tapasztalatunk alapj�n a harmadikra fogadn�nk.

Tan�runk dob�kock�val tizenk�tszer dobott, �s a t�bl�ra sorba feljegyezte a dobott sz�mokat (a k�s�rlete kimenetel�t). Egy tr�f�s tanul� fel�rt m�g k�t m�sik lehets�ges kimenetelt. Amikor az oszt�lyterembe l�ptek a t�bbiek, akkor a k�vetkez� volt a t�blak�p:
123456654321
242162455316
111111666666
Mire tippeln�nk, melyik volt tan�runk feljegyz�se?

Ism�t term�szetes k�telkedni az els� �s a harmadik sorban. Ezeket ink�bb a tanul� feljegyz�s�nek gondoljuk. Tipp�nk a m�sodik sor.

Az esem�nyt�r �s az esem�ny defin�ci�ja
V�letlen, esem�ny- bevezet�s

Egy k�s�rlet kimenetel�r�l t�bb �ll�t�st fogalmazhatunk meg, amelyekr�l a k�s�rlet v�g�n el tudjuk d�nteni, hogy igaz-e vagy hamis-e.

Erre is adunk n�h�ny p�ld�t (�ll�t�saink m�g�tt �ll� k�s�rlet k�nnyen kital�lhat�):

a) Az 1, 2, 7, 17 �s 78 sz�mokat kih�zz�k a lott�n.

b) Dob�kock�val t�rt�n� dob�sunk eredm�nye p�ros lesz.

c) Dob�kock�val t�rt�n� dob�sunk eredm�nye h�t lesz.

d) K�rty�z�s k�zben az oszt�sn�l kapunk �szt.

Az esem�nyek fogalm�n �rdemes elgondolkodnunk. Tegy�k fel, hogy k�t azonosan kin�z� dob�kock�nk van (nevezz�k els�nek �s m�sodiknak ezeket), �s egyszerre dobjuk fel mindkett�t. Egy lehets�ges kimenetel az, hogy az els� dob�kocka egyet mutat, a m�sodik pedig �t�t. Ezt a kimenetelt nem tudjuk megk�l�nb�ztetni att�l, amikor az els� dob�kocka mutat �t�t, �s a m�sodik egyet. (Feltessz�k, hogy a dob�s folyam�n nem k�vetj�k rendk�v�li figyelemmel a k�t rep�l� kock�t.) �gy „az els� dob�kocka �t�t, a m�sik egyet mutat” nem esem�ny. Ezen k�s�rlet eset�n az, hogy „az egyik dob�kocka �t�t, a m�sik egyet mutat”, egy esem�ny lesz. Azaz a k�s�rlet v�geredm�ny�t l�tva nem biztos, hogy a teljes kimenetelt ki tudjuk tal�lni.

Esem�ny, esem�nyt�r fogalma

�ltal�ban a k�s�rlet elv�gz�se el�tt az �ll�t�sunk igaztartalma nem d�nthet� el. (Van kiv�tel, hiszen a c) �ll�t�s is ilyen. Tudjuk, hogy biztosan hamis.) Ezekre az �ll�t�sokra azt mondjuk, hogy v�letlen, vagy val�sz�n�s�gi esem�nyek. Az esem�nyeket nagy bet�vel fogjuk jel�lni. (P�ld�ul A esem�ny: Egy k�rtyalapot h�ztunk, �s az kir�ly lett.)
A c) esem�ny biztosan nem k�vetkezik be. Az ilyen esem�nyeket lehetetlen esem�nyeknek nevezz�k. Jele: ∅ A biztosan bek�vetkez�, biztos esem�nyre is adhatunk p�ld�t: Az �t�s lott� nyer�sz�mai k�z�tt van olyan, amely nem k�bsz�m. A biztos esem�ny jele: I
Valamely k�s�rlet �sszes kimenetele egy halmazt alkot. Ezt nevezz�k esem�nyt�rnek. Egy esem�ny azonos�that� azon kimenetelekkel, amelyek eset�n az esem�ny bek�vetkezik. Azaz az esem�nyek az esem�nyt�r r�szhalmazai.
Ha egy k�s�rlet sor�n k�t azonos dob�kock�t dobunk fel, akkor a lehets�ges kimenetelek halmaza 36 elem� lesz: {(1,1), (1,2), …, (6,6)}. Az {(1,2)} egyelem� r�szhalmaz nem esem�ny, mert nem tudjuk eld�nteni, hogy a dob�s v�g�n egy egyest �s egy kettest l�tva, az els� kock�n van az egyes vagy a m�sodikon. A „B: a k�t dobott sz�m azonos” egy esem�ny, amely le�rhat� az {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} r�szhalmazzal.

Azon esem�nyeket, amelynek egyik r�szhalmaza sem esem�ny, elemi esem�nyeknek nevezz�k.
Gyakran a k�s�rlet eredm�nye helyett csak egy a k�s�rlethez tartoz� param�ter �rdekes sz�munkra.
a) A legkisebb kih�zott lott�sz�m.
b) A kiosztott hetes lapok sz�ma.
Ezeknek a param�tereknek az �rt�ke a k�s�rlet kimenetel�vel v�ltozik. Ezeket v�letlen, vagy val�sz�n�s�gi v�ltoz�knak nevezz�k.

A relat�v gyakoris�g
A relat�v gyakoris�g fogalm�nak bevezet�se

A mindennapi �letben is haszn�ljunk a val�sz�n� sz�t. N�h�ny p�lda:
- Nem tartotta val�sz�n�nek, hogy megint � felel t�rt�nelemb�l.
- Siess�nk haza, mert val�sz�n�leg nemsok�ra esni fog az es�.
- Val�sz�n�tlennek t�nik, hogy megnyerheti ezt a versenyt.
Tapasztalatunk azt mondja, hogy bizonyos esem�nyek val�sz�n�bbek, mint m�sok. A fenti p�ld�k esem�nyei matematikai kereteink k�z�tt nem t�rgyalhat�k, azok nem val�sz�n�s�gi esem�nyekr�l sz�lnak: konkr�t helyzetekre vonatkoznak, a hozz�juk tartoz� k�s�rletek nem ism�telhet�k meg t�bbsz�r.
Ennek ellen�re �rz�seink alapj�n a matematikai val�sz�n�s�gek is m�rhet�k, �sszehasonl�that�k.
A lott�sz�mokat tartalmaz� g�mbb�l egy sz�mot kih�zunk. Legyen A �s B a k�vetkez� esem�ny:
A: a 90-es sz�mot h�zzuk ki,
B: p�ros sz�mot h�zunk ki.
Melyik a val�sz�n�bb esem�ny?
Azon kimenetelek eset�n, amikor az A esem�ny bek�vetkezik, a B esem�ny is automatikusan teljes�l. A 44-es sz�m kih�z�s�val a B esem�ny bek�vetkezik, m�g az A esem�ny nem. Azt mondjuk: a B bek�vetkez�se val�sz�n�bb.

Dob�kock�val dobunk egyszer. Legyen C �s D a k�vetkez� k�t esem�ny:
: dob�sunk eredm�nye kisebb, mint 3,
D: dob�sunk eredm�nye nagyobb, mint 4.
Melyik esem�ny val�sz�n�s�ge nagyobb?

Aki t�bbsz�r j�tszott dob�kock�val, bizony�ra �szrevette, hogy a dob�kocka szemk�zti lapj�n l�v� k�t sz�m �sszege minden esetben h�t. A fenti k�rd�s megv�laszol�s�hoz gondoljuk azt, hogy k�t gyerek is figyeli a dob�st, amely egy �vegasztal fel�let�n t�rt�nik. Az egyik gyerek a szokott m�don figyeli a kimenetelt. A m�sik gyerek az asztal alatt fekve n�z felfel�, �gy � a dob�kocka alj�n l�v� sz�mot l�tja, ezt tekinti a dob�s eredm�nyek�nt. A m�sodik gyerek igaz�b�l egy m�sik k�s�rletet figyel meg. A fels�, illetve az als� sz�m k�vet�se k�z�tt egy szabv�nyos dob�kocka eset�n nincs l�nyegi k�l�nbs�g. Ha az els� gyerek azt l�tja, hogy a C esem�ny bek�vetkezett, akkor a m�sik gyerek �ppen a D esem�ny bek�vetkez�s�t k�nyveli el. Ez alapj�n jogos �gy �rezn�nk, hogy a k�t esem�ny val�sz�n�s�ge nem k�l�nb�zik.
A relat�v gyakoris�g defin�ci�ja

M�r eddigi vizsg�l�d�saink sor�n is t�bbsz�r megt�rt�nt, hogy egy k�s�rletet sokszor el kellett v�gezn�nk. A sok v�grehajt�s sok eredm�nyre vezetett. Gyakran az eredm�ny csak egy sz�m volt. Ilyenkor az eredm�nyek sz�msokas�got alkotnak. Ezeket a sz�msokas�gokat statisztikai tanulm�nyaink sor�n m�r vizsg�ltuk. L�ttuk, hogy a lehets�ges �rt�kek gyakoris�gainak felt�ntet�se hasznosabb, mint az �sszes eredm�ny felsorol�sa. A gyakoris�gok �sszege a sz�msokas�gunkban l�v� elemek sz�ma. Eset�nkben ez az a sz�m, ah�nyszor elv�gezt�k a k�s�rletet. Ez k�l�nb�z� esetben k�l�nb�z� lehet, �gy neh�z az eredm�nyek �sszehasonl�t�sa.

�rdemes relat�v gyakoris�gokkal dolgoznunk. Egy �rt�k relat�v gyakoris�ga a gyakoris�g�nak �rt�ke elosztva a sokas�g elemsz�m�val. Azaz a relat�v gyakoris�g azt mutatja meg, hogy egy adott �rt�k az �sszes elem h�nyad r�sz�t alkotja.
Feladat �s megold�s: kockadob�s eredm�nyei

Dob�kock�val dobjunk 120-szor. Az eredm�nyekr�l k�sz�ts�nk t�bl�zatot a relat�v gyakoris�got felt�ntetve!

Az �ltalunk elv�gzett dob�sok alapj�n a k�vetkez� t�bl�zatot k�sz�tett�k el:
a dobott sz�m 1 2 3 4 5 6
gyakoris�g 18 23 19 22 21 17
relat�v gyakoris�g 0,15 0,192 0,158 0,183 0,175 0,142
Ezt a k�s�rletet m�r nagyon nagy sz�mban is elv�gezt�k. A k�l�nb�z� elv�gz�sek k�l�nb�z� helyeken, k�l�nb�z� id�ben t�rt�ntek. Azt tapasztaljuk, hogy minden egyes �rt�k relat�v gyakoris�ga egy sz�m k�r�l ingadozik.
Ezen k�s�rlet eset�n mindegyik lehets�ges eredm�ny relat�v gyakoris�ga az 1/6 sz�m k�r�l ingadozik.

M�s k�s�rletek eset�n is hasonl� tapasztalattal rendelkez�nk (term�szetesen akkor az ingadoz�s is m�s �rt�k k�r�l t�rt�nhet).
Hogy azt az �rt�ket j�l l�thassuk, amely k�r�l az ingadoz�s t�rt�nik, nagyon sokszor el kell v�gezn�nk a k�s�rletet. Azt aj�nljuk, hogy megb�zhat� �rt�khez t�bb ezres sz�mban v�gezz�k el a k�rd�ses k�s�rletet.