Skidomok
Dnci 2007.11.05. 18:15
Tgalap, palaleogamma, hromszg, trapz, sokszg, deltoid, kr!
Kerlet s terlet
Egy tglalap A) A 14. brn lthat tglalap kt szomszdos oldalnak hossza a s b. Ennek a tglalapnak a
kerlete: K = 2(a+b),
terlete: T = ab.
Ebbl specilis esetknt az aoldalhosszsgngyzet
kerlete: K = 4a,
terlete: T = a2.
Paralelogramma Paralelogramma kerlete s terlete
B) Az braparalelogrammjnla kt szomszdos oldal hossza a s b, az aoldalhoz tartoz magassgama.
A paralelogrammakerlete: K = 2(a+b).
Egy paralelogramma Tapasztalatainkkal sszhangban van az az llts, hogy brmely paralelogrammt vele egyenl terlettglalapp alakthatunk. Az bra jellsei szerint az ABCD paralelogrammaterlete egyenl a QQ’CD tglalapterletvel. Ugyanis, ha az bra b) rszn lthat AQD derkszg hromszget (gondolatban) levgjuk, s azt gy illesztjk a maradk skidom BC oldalhoz, ahogy azt a c) bra mutatja, akkor a QQ’CD tglalapot kapjuk. Terletk egyenl:
TABCD A paralelogrammaterlete: T Az elz bra paralelogrammjnaktglalapp trtn tdarabolsa nagyon szemlletes volt. A kvetkez braparalelogrammjnak tdarabolsrl ezt nem mondhatjuk. Ms mdon kell bizonytani, hogy brmely paralelogrammt talakthatunk vele egyenl terlettglalapp. Az bra ABCD paralelogrammjnak az AB oldala a hosszsg. Az AB s a CD egyenesekprhuzamosak. Lthat mdon az AB egyenesre mrjk fel az A’B’ = a hosszsg szakaszt s kpezzk az A’B’C’D’ tglalapot. Az ABCD paraParalelogrammbl tglalap lelogramma s az A’B’C’D’ tglalapalapja s magassga egyenl. Azt lltjuk, hogy ezek egyenl terletek. Az AA’D’D ngyszg egy vektorral trtn eltolssal tvihet a BB’C’C ngyszgbe, ezrt ez a kt ngyszg egybevg. Az utols brn elklntve mutatjuk a kt egybevg, azaz egyenl terlet ngyszget. Mindkettnek rsze a BA’D’C ngyszg. Ha ezt mind az AA’D’D, mind a BB’C’C ngyszgbl elvesszk, akkor a maradk terletek is egyenlk, azaz TABCD Ezzel bebizonytottuk, hogy brmely paralelogramma egyenl terlet egy ugyanakkora alaphosszsg s ugyanakkora magassgtglalappal. Megjegyzsek a paralelogrammrl
Tapasztalatainkkal sszhangban van az az llts, hogy brmely paralelogrammt vele egyenl terlettglalapp alakthatunk. A 15. bra jellsei szerint az ABCDparalelogrammaterlete egyenl a QQ’CDtglalapterletvel. Ugyanis, ha az brab) rszn lthat AQDderkszg hromszget (gondolatban) levgjuk, s azt gy illesztjk a maradk skidomBColdalhoz, ahogy azt a c) bra mutatja, akkor a QQ’CDtglalapot kapjuk. Terletk egyenl: TABCD.
II Megjegyzs
A 15. braparalelogrammjnaktglalapp trtn tdarabolsa nagyon szemlletes volt. A 16. bra paralelogrammjnak tdarabolsrl ezt nem mondhatjuk.
Ms mdon kell bizonytanunk, hogy brmely paralelogrammt talakthatunk vele egyenl terlettglalapp.
A 17. bra ABCDparalelogrammjnak az ABoldalaahosszsg. Az AB s CDegyenesekprhuzamosak. A 17. brn lthat mdon az ABegyenesre mrjk fel az A’B’ = ahosszsgszakaszt s kpezzk az A’B’C’D’tglalapot.
Az ABCD paralelogramma s az A’B’C’D’ tglalap alapja s magassga egyenl. Azt lltjuk, hogy ezek egyenl terletek.
Az AA’D’D ngyszg egy vektorral trtn eltolssal tvihet a BB’C’C ngyszgbe, ezrt ez a kt ngyszg egybevg.
A 18. brn elklntve mutatjuk a kt egybevg, azaz egyenl terlet ngyszget. Mindkettnek rsze a BA’D’C ngyszg. Ha ezt mind az AA’D’D, mind a BB’C’C ngyszgbl elvesszk, akkor a maradk terletek is egyenlk, azaz
TABCD.
Ezzel bebizonytottuk, hogy brmely paralelogramma egyenl terlet egy ugyanakkora alaphosszsg s ugyanakkora magassg tglalappal.
Maradk terletek
A hromszgterlett a paralelogrammaterletnek segtsgvel kapjuk meg. A 19. bra jellse szerint az ABC hromszget tkrzzk az AB oldal F felezpontjra. Az eredeti hromszg s a tkrkpe (melyek egybevgk) egytt a CBC’A paralelogrammt adjk. Mivel C, a paralelogrammaterlete a hromszgterletnek ktszerese. Ezrt a hromszgterlete: T
Hromszg Hromszg kerlete s terlete
A hromszgkerlete a hrom oldalhosszsgnak az sszege (19. bra):
K = a + b + c.
Derkszg hromszg A hromszgterlett a paralelogrammaterletnek segtsgvel kapjuk meg. A 19. bra jellse szerint az ABChromszgettkrzzk az ABoldalFfelezpontjra. Az eredeti hromszg s a tkrkpe (melyek egybevgk) egytt a CBC’Aparalelogrammt adjk. Mivel C, a paralelogrammaterlete a hromszgterletnek a ktszerese. Ezrt a hromszgterlete:
T.
, a msik oldalakra alkalmazva:
T. Egy hromszg Specilis hromszgek
Ennek specilis esete az a s b befogj, c tfogjderkszg hromszgterlete (20. bra). T, vagy T.
Az a oldalhosszsg szablyos hromszgterlete: T, mert ma
A hromszg terletnek ms szmtsai A Heron-kplet
Ha egy hromszg hrom oldalhossza adott, akkor terletnek kiszmtshoz ismernnk kell az egyik oldalhoz tartoz magassgt. Ennek megrajzolsval kt derkszg hromszget kapunk (27. bra). A kt derkszg hromszgblPitagorasz ttelvel kt egyenletet, azaz m-re s x-re egy ktismeretlenes egyenletrendszert runk fel s azt megoldjuk. A magassg ismeretben kiszmthatjuk a hromszgterlett. Ezzel a gondolatmenettel dolgozva az a,b, c oldalhosszsg hromszgterlete: T Ha a hromszgflkerlett s-sel jelljk, azaz s , akkor a hromszgterlete: T=s(s−a)(s−b)(s−c). Ezt az sszefggst nevezzk Heron-kpletnek.
bra a Heron-kplethez bra a Heron-kplethez Terlet bert krrel
Lttuk azt is, hogy a hromszgkerletbl s a hromszgbert krnekϕsugarbl (bra) a hromszgterlett a T sszefggssel szmthatjuk ki. Trigonometrikus terletkplet
y H) A hromszg terlett felrtuk kt oldalhossznak s a kzbezrt szgnek a segtsgvel is (26. bra):
T.
Ennek kvetkezmnye, hogy paralelogramma esetn . A paralelogrammaterlete: T
Trapz A trapz kerlete s terlete
Egy trapz D) a 21. brn lthat ABCD trapzkerlete: K = a + b + c + d.
Terletnek meghatrozshoz tkrzzk a trapzt a BC oldal F felezpontjra. A trapz s a tkrkpeegybevgk s egytt a AD’A’D paralelogrammt adjk, amelynek a trapz kt prhuzamosoldalnak az sszege: a + c. A paralelogrammaterlete a trapzterletnek a ktszerese. Ezrt a trapzterlete: T=(a+c)m2.
Telek ngyzetmterr Feladat: egy ngyzetmter ra
2. plda A mellkelt trkpvzlaton (32. bra) t1-gyel jellt ptsi telek 7,5 milli, a t2-vel jellt pedig 12,6 milli Ft-rt elad. Melyik esetben kedvezbb a vsrlsi r? (azaz m2-e mikor olcsbb)?
Deltoid A deltoid kerlete s terlete
F) Az brn egy deltoidot ltunk. Tudjuk, hogy a kt tlja egymsra merleges. Az AC tl a deltoidot kt egybevg hromszgre bontja. A hromszgek AC oldalhoz tartoz magassga a msik tl fele. A deltoidKonkv deltoid terlete: T A 25. brrKonvex deltoid
Sokszg
ltalnos sokszg E) Sokszgek kerletn sokszget hatrol egyenes szakaszok hossznak az sszegt rtjk. Sokszgekterletthromszgekre bonts segtsgvel hatrozhatjuk meg. A sokszgekterlete a hromszgekterletnek az sszege (22. bra).
T = T1 + T2 + T3 +….+ Tn Ha n darab hromszgre bontottuk a sokszget (persze itt n nem felttlenl a sokszgoldalszma, mivel a hromszgekre bonts tetszs szerinti lehetsges)
Szablyos sokszg Szablyos sokszgekterletnek kiszmtsnl a cscspontokat a szablyos sokszg kzppontjval ajnlatos sszektnnk. Ekkor annyi egybevg egyenl szr hromszget kapunk, ahny oldal a szablyos sokszg (23. bra) s ekkor a szablyos sokszg kerlete: K = na, terlete: T = nt.
Kr Kr kerlete s terlete
G) Krkerletnek, terletnek meghatrozsa jval nehezebb feladat. Az ltalnos iskolban - kzls alapjn, bizonyts nlkl - megtanultuk, hogy az r sugarkr A krkerlete: K , A krterlete: T , ahol π irracionlis szm, szzadrszekre kerektve: π. Krv, krcikk
J) Az r sugarkrben (29. bra) egy αº-os kzpponti szghz tartoz krv hosszt, illetve a krcikkterlett a kvetkez sszefggsekkel szmtottuk ki: i T vagy T
Kr s rszei Krszelet
Vannak olyan skidomok, amelyek terletnek meghatrozst valamilyen mdon visszavezethetjk az elzekben ltott skidomokterletre. Pldul egy krszeletterlett egy krcikk s egy hromszgterletnek a segtsgvel tudjuk kiszmtani. A 30. bra mutatja a lehetsges eseteket. Krszelet szemlltetse
Terletszmts rszenknt Feladat: szablytalan skidom
3. plda
A 33. brn lthat skidomhatrolvonalaegyenes szakaszokbl s egy krvbl ll.
Meghatroz adatai a kvetkezk: Az AC szakaszra illeszkedik az O pont, amely kzppontja az r = 6 egysg sugar, 120º-os kzpponti szg BC krvnek. Az AB szakasz az O kzppont, r = 6 egysg sugarkr B pontjhoz tartoz rintjre illeszkedik.
A CDEG tglalap CG oldala illeszkedik az AC szakaszra, s CG = 4, CD = 5 egysg. A GE egyenesen lv EF szakasz 9 egysg hosszsg.
Szmtsuk ki a skidomkerlett s terlett.
Megolds: szablytalan skidom
A skidomot megfelel rszekre bontjuk. Az egyes rszeknl kln-kln kiszmtjuk a kerlethez, illetve a terlethez szksges adatokat. 1. Az O kzppont, r = 6 egysg sugar, 120º-os kzppontiszgkrcikkvhossza: i. Krcikkterlete: t1. 2. Az ABO hromszg B cscsnl lv szge 90º, az O cscsnl lv 60º. Az ABO hromszget tekinthetjk egy szablyos hromszgfelnek. Az AO oldala 12 egysg. A skidomkerletn lv szakasz: A . Az ABO hromszgterlete: t2 . 3. A CDEG tglalapoldalhosszai adottak. A skidomkerlethez tartoz hosszsgok: CD + DE = 9. A tglalapterlete: t3 . 4. Az AGF derkszg hromszgbefogi:
AG = AO + OG = 12 + 2 = 14, GF = GE + EF = 5 + 9 = 14. Az AGF egyenl szr derkszg hromszg.
A skidomkerlethez tartoz szakaszhosszok: E . A hromszg terlete: t4. Ezek miatt a skidomkerlete: K (hosszsgegysg), terlete: T (terletegysg). Szablytalan sokszg
|