Matematikai t�telek (1-9 t�telek)

               1. t�tel

A sz�mfajt�k:

�lland� tov�bbsz�ml�l�ssal keletkeztek a term�szetes-sz�mok.

A term�szetes-sz�mokban egy,kett�,h�rom,n�gy,�t,hat sat�bbi,v�gtelen sok sz�m van.

A term�szetes-sz�mok jelei a sz�mjegyek.

K�t f�le sz�mjegy haszn�latos: a + az arabsz�mjegyek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

 A r�mai sz�mjegyek:i,v,x,l,c,d,m,=1 5 10 50 100 500 1000.

2. t�tel

Sz�mrendszerek:

Mivel a term�szetes sz�msor v�gtelen sok eleme van,ez�rt olyan elrendez�st kell alkalmazni,hogy kev�s sz�mn�vvel �s sz�mjeggyel sok sz�mot kimondhassunk �s le�rhassunk.

A sz�mrendszert bizonyos szab�lyok szer�nt rendezett sz�mok alkotj�k.

Ha a sz�mokat tizes�vel,t�z-t�l t�z egys�get egy-t�l egy nagyobb rend� egys�gbe foglaljuk,akkor sz�mrendszer�nket tizes sz�mrendszernek nevezz�k,

Melynek alapsz�ma a t�z.

A tizes sz�mrendszerben jobbr�l az els� hejre �rjuk az egyeseket ett�l egy-egy hejjel balra a tizeseket,sz�zasokat sat�bbi.

�gy a sz�mjegy heje kifejezi a sz�m helyi �rt�k�t, a sz�mjegy alakja pedig jelzi a sz�m alaki�rt�k�t,amely megmutatja,hogy az illet� egys�gb�l mennyit kell venni.      

pl:345,az �t�s �t egyes,n�gyes n�gy tizest �s h�rmas h�rom sz�zast jelent. 

Ha valamely rend� egys�g hi�nyzika le�rand� sz�mb�l akkor annak hej�re null�t �runk. 

�ltal�noss�gban m�sodik harmadik negyedik eg�sz sz�mok b�rmelyik�t v�laszthatjuk egy sz�mrendszer alapj�ul. 

A tizess sz�mrendszerben az alapsz�m hatv�nyainak �sszegek�nt �rjuk le az adott sz�mot,pl605=6*10 a m�sodikon + 0*10az els�n+5*10a nulladikon,Ehhez hasonl�an az alapul v�lasztott sz�m hatv�nyainak �sszegek�nt �rhatjuk le az adott sz�mot. 

A legkevesebb sz�mjegyet a kettes sz�mrendszer ig�nyli,sz�mjegyei a 0 �s az 1.

Pl:110 a m�sodikon kiejt�se 1 1 0.

Pl:1* 2a m�sodikon +1 * 2az els�n +0*2 a nulladikon =6 a nulladikon.

A tizes rendszerb�l a kettesbe val� �t�r�st a k�vetkez� k�ppen v�gezhetj�k:osztjuk a adott sz�mot kett�vel

s a marad�kot le�rjuk,a h�nyadost ism�t osztjuk kett�vel s a marad�kot az el�z� marad�kt�l balra �rjuk,ism�t osztjuk a h�nyadost,�s �gy fojtatjuk

am�g h�nyadosul egyet nem kapunk,amelyet az el�z� marad�kt�l balra le�runk:Pl:61*10 6 /2 = 3 marad�k 0

3 /2 =1 marad�k 1 a marad�kokat sorrendben balra haladva le�rjuk,�s el� �rjuk az utols� h�nyadost,az egy-et.

Teh�t 61*10 =110.

3. t�tel

A sz�mok feloszt�sa:

A pozit�v �s a negat�v sz�mok a null�val egy�tt az eg�sz sz�mok.

A t�rtsz�mokat k�t eg�sz sz�m h�nyadosak�nt �rtelmezz�k(kiv�ve a null�val val� oszt�st):

35 sat�bbi.

A 10,100 sat�bbi,nevez�j� t�rteket tizedest�rteknek nevezz�k.

A pozit�v �s negat�v eg�sz sz�mok,a pozit�v �s negat�v t�rtek �s a 0 racion�lis sz�mokat alkotj�k.

Az irracion�lis sz�mok azok amelyek racion�lis sz�mokkal nem fejezhet�ek ki pontosan,csak megk�zel�t�leg.

Ilyenek a v�gtelen,nem szakaszos tizedest�rtek.

A racion�lis �s a val�s sz�mokat alkotj�t.

                  4. t�tel

A sz�mtani alapm�veletek:

�sszead�s:�sszeadand� +�sszeadand� egyenl� �sszeg,5+7 =12.

az �sszeg f�ggetlen az �sszead�s sorrendj�t�l,7+5 =12.     

Ez a felcser�l�si (kommutat�v) t�rv�ny.

Kivon�s:Kissebb�tend� kivonand�= k�l�nbs�g:12-5=7.

szorz�s:Szorzand� szorozva szorz�val =szorzat:4*5=20.

Kommutat�v m�velet:5*4=20.

Oszt�s:Osztand� / oszt�=h�nyados:20/4=5.

                  5. t�tel

A n�gy alapm�velet sorrendje:

Ha �sszead�s �s kivon�s k�vetkezik egym�s ut�n,akkor a sorrend tetsz�leges.

Az oszt�s vagy szorz�s �s a kivon�s vagy �sszead�s eset�ben az oszt�s vagy a szorz�s az els�dleges.

Az oszt�s �s a szorz�s eset�ben z�r�jellel kell a sorrendet jelezni:(6/3)*2=4,6/(3*2)=1.  

Bonyolultabb kifejez�sekn�l el�sz�r a z�r�jelben l�v� kifejez�seket v�gezz�k el,a z�r�jelen bel�l el�sz�r a szorz�st �s az oszt�st sz�m�tjuk ki:3*(20-5*2)=3*(20-10)=3*10=30.  

               6. t�tel

Oszthat�s�g:

Egy sz�m oszt�i azok a sz�mok,amelyek marad�k n�lk�l megvannak benne.

Minden sz�m oszthat� egyel �s �nmag�val,de ezeket nem tekintj�k val�di oszt�nak.

Pl:15 nek val�di oszt�i az 5 �s a 3.

Kett�vel oszthat�k azok a sz�mok melyekn�l az egyesek hej�n p�ros sz�m vagy 0 �ll.

H�rommal az a sz�m oszthat�,amelynek sz�mjegyeinek �sszege h�rommal oszthat�.

Pl:111 1+1+1=3 111 /3 =37.

N�ggyel az a sz�m oszthat�, melynek utols� k�t sz�mjegy�b�l �ll� sz�m oszthat� n�ggyel:Pl:312 oszthat� n�ggyel,mert 12 is oszthat�,312/4=78.

�ttel oszthat�k az �tre vagy null�ra v�gz�d� sz�mok.

Hattal mindazon p�ros sz�m oszthat� amely h�rommal oszthat�.

Pl:222 2+2+2=6,a hat oszthat� h�rommal,�s p�ros,teh�t oszthat� hattal:222/6=37.

Nyolcal azok a sz�mok oszthat�k,amelyeknek utols� h�rom sz�mjegy�b�l �ll� sz�m oszthat� nyolcal.

Pl:2152 oszthat�,mert 152 osztva 8 =19,2152/8=269.

Kilencel azok a sz�mok oszthat�k,melyek sz�mjegyeinek �sszege oszthat� kilencel.

Pl:531 5+3+1=9,531 /9 =59.

                 7. t�tel

T�rzs sz�m �s �sszetett sz�m:

Azokat a sz�mokat,amelyeknek nincs val�di oszt�ik t�rzs sz�moknak vagy pr�m sz�moknak,azokat pedig amelyeknek van,�sszetett sz�moknak nevezz�k.

Az egyet nem soroljuk sem a t�rzs sz�mok,sem az �sszetett sz�mok k�z�.

Az �sszetett sz�m �sszes oszt�inak meghat�roz�s�t el�seg�ti a t�rzst�nyez�kre bont�s.

Ez �gy t�rt�nik,hogy az adott sz�mot elosztjuk a legkissebb t�rzs sz�mmal, amelyikkel a sz�m oszthat�.

Pl:8/2=4,a h�nyadost vagyis a n�gyet ism�t elosztjuk a benne tal�lhat� legkisebb t�rzs sz�mmal,4/2 =2 a h�nyadost ism�t elosztjuk,ebben az esetben kett�vel,2/2=1.  

Az �gy kapott t�rzs sz�mok az adott sz�m t�rzst�nyez�i:8=2*2*2=2 a harmadikon.

Pl:63 legkisebb val�di oszt�ja a 3,63/3=21 21nek legkisebb val�di oszt�ja ism�t a 3,21 /3=7,7nek az oszt�ja7,7/7=1.

Teh�t 63 t�rzst�nyez�s alakja 3*3*7=3a m�sodikon *7.

Legynagyobb k�z�s oszt�:az a legnagyobb sz�m,amely k�t vagy t�bb adott sz�m mindegyik�ben marad�k n�lk�l megvan.

Jele:lnko,Pl:18 �s 30 legnagyobb k�z�s oszt�ja 6.

T�bb sz�m legnagyobb k�z�s oszt�j�t �gy kapjuk meg,hogy a sz�mokat t�rzst�nyez�ikre bontjuk,�s a k�z�s t�rzst�nyez�ket az el�fordul� legkisebb hatv�nykitev�vel v�ve �sszeszorozzuk.

Pl:54,45�s 63 legnagyobb k�z�s oszt�ja:54=2*3*3*3=2*3a harmadikon,45=3a m�sodikon*5 63=3a m�sodikon *7,ak�z�s t�nyez�k a 3,a legkisebb hatv�nykitev�vel:3 a m�sodikon,teh�t a 3 sz�m legnagyobb k�z�s oszt�ja 9.

Legkisebb k�z�s t�bbsz�r�s:Az a legkisebb sz�m,amelyben k�t vagy t�bb adott sz�m marad�k n�lk�l megvan.

Jele:lkkt.

Pl:18 �s 30 legkisebb k�z�s t�bbsz�r�se 90.

Legkisebb k�z�s t�bsz�r�s meghat�roz�sa �gy t�rt�nik hogy az adott sz�mok �sszes t�rzst�nyez�it az el�fordul� legnagyobb hatv�nykitev�vel v�ve �sszeszorozzuk. 

Pl:18=2*3a m�sodikon,30=2*3*5,a k�l�nb�z� t�rzs t�nyez�k 2 3 �s 5, a legnagyobb hatv�nykitev�vel:2*3 am�sodikon*5=90. 

                  8. t�tel

K�z�ns�ges t�rtek:

Ha az eg�szet t�bb egyenl� r�szre osztjuk,t�rtet kapunk.

Pl:a 4kilenced t�rtsz�m azt jelenti,hogy a n�gy eg�szet 9 egyenl� r�szre kell osztani,

vagy hogy az eg�szet9 r�szre kell osztani,�s ebb�l kell venni 4 r�szt.

Az osztand�t (4)sz�ml�l�nak,az oszt�t(9)nevez�nek,az oszt�s jel�t t�rtvonalnak nevezz�k.

Azt a t�rt sz�mot,amelynek sz�ml�l�ja kisebb,mint a nevez�je val�di t�rtnek nevezz�k:

25.4 a val�di t�rt �rt�ke kisebb egyn�l.

Ha a t�rt sz�ml�l�ja nagyobb,mint nevez�je,�lt�rtnek nevezz�k.

�rt�ke nagyobb vagy egyenl� egyel:4negyed,6harmad sat�bbi.

Ha az �lt�rt sz�ml�l�ja nem oszthat� marad�k n�lk�l a nevez�vel,akkor az eg�sz sz�mon k�v�l t�rtr�sz is marad,ez a vegyest�rt.

Pl:7negyed=1 3negyed.

A t�rt �rt�ke nem v�ltozik,ha mind a sz�ml�l�t mind a nevez�t ugyan azzal a sz�mmal megszorozzuk.

Ez az elj�r�s a  t�rtb�v�t�se:2negyed=4nyolcad.

A t�rt �rt�ke nem v�ltozik ha mind a sz�ml�l�t,mind a nevez�t ugyanazzal a sz�mmal elosztjuk.

Ez a t�rt egyszer�s�t�se:12tizennegyed=6heted

.

                    9. t�tel

M�veletek t�rtekkel:

K�t egyenl� nevez�j� t�rt sz�m k�z�l az a nagyobb,amelynek sz�ml�l�ja nagyobb.

Pl:3tized < 7tized.

K�t egyenl� sz�ml�l�j� t�rtsz�m k�z�l az a nagyobb,amelyiknek a nevez�je kisebb.

Pl:3�t�d<3negyed.

K�l�nb�z� sz�ml�l�j� �s nevez�j� t�rteket �gy hasonl�tunk �ssze,hogy el�bb k�z�snevez�re hozzuk.

K�z�snevez� a nevez�k legkisebb k�z�s t�bbsz�r�se.

Ezt k�vet�en ah�nyszoros�ra n�vekedett a t�rt nevez�je,annyiszoros�ra kell n�velni a t�rt sz�ml�l�j�t.

Pl:2harmad �s 4�t�d k�z�s nevez�j�k a 15,az els� t�rtben a nevez� �tsz�r�s�re n�vekedett,teh�t a sz�ml�l�j�t is �ttel szorozzuk,a m�sodikn�l h�romszoros�ra n�tt a nevez� teh�t a sz�ml�l�t h�rommal szorozzuk:

10tizen�t�d �s 12tizen�t�d.

T�rteket �gy adunk �ssze,hogy ha sz�ks�ges k�z�snevez�re hozzuk,�s a sz�ml�l�ikat �sszeadjuk,s a nevez�t v�ltozatlanul le�rjuk.

Pl:1ketted +3negyed =2negyed +3negyed=5negyed.

A kivon�s hasonl�k�ppen t�rt�nik,term�szetesen a sz�ml�l�kat kivonjuk egym�sb�l.

T�rt sz�mot eg�sz sz�mmal �gyszorzunk,hogy vagy a sz�ml�l�t szorozzuk az eg�sszel,�s a nevez�t v�ltozatlanul hagyjuk,vagy a nevez�t osztjuk az eg�sszel,ha marad�k n�lk�l oszthat� �s a sz�ml�l�t v�ltozatlanul hagyjuk.

Pl:8tizen�t�d *5=40tizen�t�d =2 2harmad,vagy 8tizen�t�d*5 =8harmad=2 2harmad.

T�rt sz�mot eg�sz sz�mmal �gy osztunk,hogy vagy a nevez�t osztjuk az eg�sz sz�mmal,�s a sz�ml�l�t v�ltozatlanul hagyjuk,vagy a sz�ml�l�t elosztjuk az eg�sz sz�mmal,ha marad�k n�lk�l oszthat�,�s a nevez�t v�ltozatlanul hagyjuk.

Pl:4�t�d /2 =4tized=2�t�d,vagy 4�t�d /2=2�t�d.

T�rt sz�mot t�rt sz�mmal �gy szorzunk,hogy a sz�ml�l�t a sz�ml�l�val,a nevez�t a nevez�vel �sszeszorozzuk.

Pl:3�t�d *4kilenced=12negyven�t�d=4huszon�t�d.

T�rtsz�mot t�rtsz�mmal �gy osztunk,hogy az osztand�t az oszt� reciprok (ford�tott) �rt�k�vel szorozzuk.

Pl:3hatod/2negyed=3hatod*4ketted=12tizenketted=1 eg�sz.

Eg�sz sz�mot t�rt sz�mmal �gy osztunk,hogy az oszt� reciprok�rt�k�vel szorozzuk az eg�sz sz�mot.

Pl:24 /3�t�d=24*5harmad=120harmad=40.

Vegyes sz�mmal v�gzend� m�veletn�l a vegyes sz�mot �lt�rt� alak�tjuk.

Pl:3 2�t�d*3negyed=17�t�d*3negyed=51huszad=2 11huszad.