Matematikai tételek (1-9 tételek)

               1. tétel

A számfajták:

Állandó továbbszámlálással keletkeztek a természetes-számok.

A természetes-számokban egy,kettô,három,négy,öt,hat satöbbi,végtelen sok szám van.

A természetes-számok jelei a számjegyek.

Két féle számjegy használatos: a + az arabszámjegyek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

 A római számjegyek:i,v,x,l,c,d,m,=1 5 10 50 100 500 1000.

2. tétel

Számrendszerek:

Mivel a természetes számsor végtelen sok eleme van,ezért olyan elrendezést kell alkalmazni,hogy kevés számnévvel és számjeggyel sok számot kimondhassunk és leírhassunk.

A számrendszert bizonyos szabályok szerínt rendezett számok alkotják.

Ha a számokat tizesével,tíz-tôl tíz egységet egy-tôl egy nagyobb rendµ egységbe foglaljuk,akkor számrendszerünket tizes számrendszernek nevezzük,

Melynek alapszáma a tíz.

A tizes számrendszerben jobbról az elsô hejre írjuk az egyeseket ettôl egy-egy hejjel balra a tizeseket,százasokat satöbbi.

îgy a számjegy heje kifejezi a szám helyi értékét, a számjegy alakja pedig jelzi a szám alakiértékét,amely megmutatja,hogy az illetô egységbôl mennyit kell venni.      

pl:345,az ötös öt egyes,négyes négy tizest és hármas három százast jelent. 

Ha valamely rendµ egység hiányzika leírandó számból akkor annak hejére nullát írunk. 

Ćltalánosságban második harmadik negyedik egész számok bármelyikét választhatjuk egy számrendszer alapjául. 

A tizess számrendszerben az alapszám hatványainak összegeként írjuk le az adott számot,pl605=6*10 a másodikon + 0*10az elsôn+5*10a nulladikon,Ehhez hasonlóan az alapul választott szám hatványainak összegeként írhatjuk le az adott számot. 

A legkevesebb számjegyet a kettes számrendszer igényli,számjegyei a 0 és az 1.

Pl:110 a másodikon kiejtése 1 1 0.

Pl:1* 2a másodikon +1 * 2az elsôn +0*2 a nulladikon =6 a nulladikon.

A tizes rendszerbôl a kettesbe való átírást a következô képpen végezhetjük:osztjuk a adott számot kettôvel

s a maradékot leírjuk,a hányadost ismét osztjuk kettôvel s a maradékot az elôzô maradéktól balra írjuk,ismét osztjuk a hányadost,és így fojtatjuk

amíg hányadosul egyet nem kapunk,amelyet az elôzô maradéktól balra leírunk:Pl:61*10 6 /2 = 3 maradék 0

3 /2 =1 maradék 1 a maradékokat sorrendben balra haladva leírjuk,és elé írjuk az utolsó hányadost,az egy-et.

Tehát 61*10 =110.

3. tétel

A számok felosztása:

A pozitív és a negatív számok a nullával együtt az egész számok.

A törtszámokat két egész szám hányadosaként értelmezzük(kivéve a nullával való osztást):

35 satöbbi.

A 10,100 satöbbi,nevezôjµ törteket tizedestörteknek nevezzük.

A pozitív és negatív egész számok,a pozitív és negatív törtek és a 0 racionális számokat alkotják.

Az irracionális számok azok amelyek racionális számokkal nem fejezhetôek ki pontosan,csak megközelítôleg.

Ilyenek a végtelen,nem szakaszos tizedestörtek.

A racionális és a valós számokat alkotját.

                  4. tétel

A számtani alapműveletek:

Összeadás:összeadandó +összeadandó egyenlô összeg,5+7 =12.

az összeg független az összeadás sorrendjétôl,7+5 =12.     

Ez a felcserélési (kommutatív) törvény.

Kivonás:Kissebbítendô kivonandó= különbség:12-5=7.

szorzás:Szorzandó szorozva szorzóval =szorzat:4*5=20.

Kommutatív mµvelet:5*4=20.

Osztás:Osztandó / osztó=hányados:20/4=5.

                  5. tétel

A négy alapművelet sorrendje:

Ha összeadás és kivonás következik egymás után,akkor a sorrend tetszôleges.

Az osztás vagy szorzás és a kivonás vagy összeadás esetében az osztás vagy a szorzás az elsôdleges.

Az osztás és a szorzás esetében zárójellel kell a sorrendet jelezni:(6/3)*2=4,6/(3*2)=1.  

Bonyolultabb kifejezéseknél elôször a zárójelben lévô kifejezéseket végezzük el,a zárójelen belül elôször a szorzást és az osztást számítjuk ki:3*(20-5*2)=3*(20-10)=3*10=30.  

               6. tétel

Oszthatóság:

Egy szám osztói azok a számok,amelyek maradék nélkül megvannak benne.

Minden szám osztható egyel és önmagával,de ezeket nem tekintjük valódi osztónak.

Pl:15 nek valódi osztói az 5 és a 3.

Kettôvel oszthatók azok a számok melyeknél az egyesek hején páros szám vagy 0 áll.

Hárommal az a szám osztható,amelynek számjegyeinek összege hárommal osztható.

Pl:111 1+1+1=3 111 /3 =37.

Néggyel az a szám osztható, melynek utolsó két számjegyébôl álló szám osztható néggyel:Pl:312 osztható néggyel,mert 12 is osztható,312/4=78.

Öttel oszthatók az ötre vagy nullára végzôdô számok.

Hattal mindazon páros szám osztható amely hárommal osztható.

Pl:222 2+2+2=6,a hat osztható hárommal,és páros,tehát osztható hattal:222/6=37.

Nyolcal azok a számok oszthatók,amelyeknek utolsó három számjegyébôl álló szám osztható nyolcal.

Pl:2152 osztható,mert 152 osztva 8 =19,2152/8=269.

Kilencel azok a számok oszthatók,melyek számjegyeinek összege osztható kilencel.

Pl:531 5+3+1=9,531 /9 =59.

                 7. tétel

Törzs szám és összetett szám:

Azokat a számokat,amelyeknek nincs valódi osztóik törzs számoknak vagy prím számoknak,azokat pedig amelyeknek van,összetett számoknak nevezzük.

Az egyet nem soroljuk sem a törzs számok,sem az összetett számok közé.

Az összetett szám összes osztóinak meghatározását elôsegíti a törzstényezôkre bontás.

Ez úgy történik,hogy az adott számot elosztjuk a legkissebb törzs számmal, amelyikkel a szám osztható.

Pl:8/2=4,a hányadost vagyis a négyet ismét elosztjuk a benne található legkisebb törzs számmal,4/2 =2 a hányadost ismét elosztjuk,ebben az esetben kettôvel,2/2=1.  

Az így kapott törzs számok az adott szám törzstényezôi:8=2*2*2=2 a harmadikon.

Pl:63 legkisebb valódi osztója a 3,63/3=21 21nek legkisebb valódi osztója ismét a 3,21 /3=7,7nek az osztója7,7/7=1.

Tehát 63 törzstényezôs alakja 3*3*7=3a másodikon *7.

Legynagyobb közös osztó:az a legnagyobb szám,amely két vagy több adott szám mindegyikében maradék nélkül megvan.

Jele:lnko,Pl:18 és 30 legnagyobb közös osztója 6.

Több szám legnagyobb közös osztóját úgy kapjuk meg,hogy a számokat törzstényezôikre bontjuk,és a közös törzstényezôket az elôforduló legkisebb hatványkitevôvel véve összeszorozzuk.

Pl:54,45és 63 legnagyobb közös osztója:54=2*3*3*3=2*3a harmadikon,45=3a másodikon*5 63=3a másodikon *7,aközös tényezôk a 3,a legkisebb hatványkitevôvel:3 a másodikon,tehát a 3 szám legnagyobb közös osztója 9.

Legkisebb közös többszörös:Az a legkisebb szám,amelyben két vagy több adott szám maradék nélkül megvan.

Jele:lkkt.

Pl:18 és 30 legkisebb közös többszöröse 90.

Legkisebb közös töbszörös meghatározása úgy történik hogy az adott számok összes törzstényezôit az elôforduló legnagyobb hatványkitevôvel véve összeszorozzuk. 

Pl:18=2*3a másodikon,30=2*3*5,a különbözô törzs tényezôk 2 3 és 5, a legnagyobb hatványkitevôvel:2*3 amásodikon*5=90. 

                  8. tétel

Közönséges törtek:

Ha az egészet több egyenlô részre osztjuk,törtet kapunk.

Pl:a 4kilenced törtszám azt jelenti,hogy a négy egészet 9 egyenlô részre kell osztani,

vagy hogy az egészet9 részre kell osztani,és ebbôl kell venni 4 részt.

Az osztandót (4)számlálónak,az osztót(9)nevezônek,az osztás jelét törtvonalnak nevezzük.

Azt a tört számot,amelynek számlálója kisebb,mint a nevezôje valódi törtnek nevezzük:

25.4 a valódi tört értéke kisebb egynél.

Ha a tört számlálója nagyobb,mint nevezôje,áltörtnek nevezzük.

Értéke nagyobb vagy egyenlô egyel:4negyed,6harmad satöbbi.

Ha az áltört számlálója nem osztható maradék nélkül a nevezôvel,akkor az egész számon kívül törtrész is marad,ez a vegyestört.

Pl:7negyed=1 3negyed.

A tört értéke nem változik,ha mind a számlálót mind a nevezôt ugyan azzal a számmal megszorozzuk.

Ez az eljárás a  törtbôvítése:2negyed=4nyolcad.

A tört értéke nem változik ha mind a számlálót,mind a nevezôt ugyanazzal a számmal elosztjuk.

Ez a tört egyszerµsítése:12tizennegyed=6heted

.

                    9. tétel

Műveletek törtekkel:

Két egyenlô nevezôjµ tört szám közül az a nagyobb,amelynek számlálója nagyobb.

Pl:3tized < 7tized.

Két egyenlô számlálójú törtszám közül az a nagyobb,amelyiknek a nevezôje kisebb.

Pl:3ötöd<3negyed.

Különbözô számlálójú és nevezôjµ törteket úgy hasonlítunk össze,hogy elôbb közösnevezôre hozzuk.

Közösnevezô a nevezôk legkisebb közös többszöröse.

Ezt követôen ahányszorosára növekedett a tört nevezôje,annyiszorosára kell növelni a tört számlálóját.

Pl:2harmad és 4ötöd közös nevezôjük a 15,az elsô törtben a nevezô ötszörösére növekedett,tehát a számlálóját is öttel szorozzuk,a másodiknál háromszorosára nôtt a nevezô tehát a számlálót hárommal szorozzuk:

10tizenötöd és 12tizenötöd.

Törteket úgy adunk össze,hogy ha szükséges közösnevezôre hozzuk,és a számlálóikat összeadjuk,s a nevezôt változatlanul leírjuk.

Pl:1ketted +3negyed =2negyed +3negyed=5negyed.

A kivonás hasonlóképpen történik,természetesen a számlálókat kivonjuk egymásból.

Tört számot egész számmal úgyszorzunk,hogy vagy a számlálót szorozzuk az egésszel,és a nevezôt változatlanul hagyjuk,vagy a nevezôt osztjuk az egésszel,ha maradék nélkül osztható és a számlálót változatlanul hagyjuk.

Pl:8tizenötöd *5=40tizenötöd =2 2harmad,vagy 8tizenötöd*5 =8harmad=2 2harmad.

Tört számot egész számmal úgy osztunk,hogy vagy a nevezôt osztjuk az egész számmal,és a számlálót változatlanul hagyjuk,vagy a számlálót elosztjuk az egész számmal,ha maradék nélkül osztható,és a nevezôt változatlanul hagyjuk.

Pl:4ötöd /2 =4tized=2ötöd,vagy 4ötöd /2=2ötöd.

Tört számot tört számmal úgy szorzunk,hogy a számlálót a számlálóval,a nevezôt a nevezôvel összeszorozzuk.

Pl:3ötöd *4kilenced=12negyvenötöd=4huszonötöd.

Törtszámot törtszámmal úgy osztunk,hogy az osztandót az osztó reciprok (fordított) értékével szorozzuk.

Pl:3hatod/2negyed=3hatod*4ketted=12tizenketted=1 egész.

Egész számot tört számmal úgy osztunk,hogy az osztó reciprokértékével szorozzuk az egész számot.

Pl:24 /3ötöd=24*5harmad=120harmad=40.

Vegyes számmal végzendô mµveletnél a vegyes számot áltörté alakítjuk.

Pl:3 2ötöd*3negyed=17ötöd*3negyed=51huszad=2 11huszad.