Geometriai t�telek (1-9 t�telek)

                     1. t�tel

Geometria alapfogalmak  

A geometri�ban a t�rgyakat testeknek nevezz�k.

A testet fel�letek (s�kidomok vagy g�rbe fel�letek) Hat�rolj�k.

A s�kidomokat vonalak hat�rolj�k.

A vonal lehet g�rbe �s egyenes.

Ha a vonalat feldaraboljuk, akkor a vonaldarabokat pontok hat�rolj�k.

A pontokat nagybet�kkel jel�lj�k.

Az egyenest egy pontja k�t f�legyenesre bontja.

Az egyenes k�t pontja k�z� es� darabj�t szakasznak nevezz�k.

A szakaszt a k�t v�gpontj�hoz �rt k�t nagybet�vel,vagy a szakasz k�zep�re �rt kisbet�vel jel�lj�k.

A s�kidomok oldalait kisbet�kkel jel�lj�k,ha egyenl� oldalakr�l van sz�,akkor azonos kisbet�vel.

A cs�csokat nagybet�vel jel�lj�k.

Mind az oldalak,mind a cs�csok jel�l�s�nek ir�nya az �ra j�r�s�val ellenkez�,�ltal�ban a-t�l sorban haladvahaszn�ljuk az abc bet�it. 

A sz�gek jel�l�s�re g�r�g kis bet�ket haszn�lunk.

A leg gyakrabban haszn�lt g�r�g kisbet�k:alfa:a b�ta:b.Delta:d.

Gamma: g. Pi: p.

Az �t�s-hatos pont a g�r�g kisbet�v�lt�.

                   2. t�tel

A t�relemek k�lcs�n�s helyzete

A pontot,az egyenest �s s�kot t�relemeknek nevezz�k.

K�t egyenes lehet metsz�,p�rhuzamos �s kit�r�.

K�t p�rhuzamos egyenesre vagy k�t metsz� egyenesre mindig egy s�k fektethet�.

A kit�r� egyenesekre nem fektethet� s�k.

Egy egyenes a s�kot k�tr�szre,k�t f�ls�kra osztja.

K�t metsz� egyenes a s�kot n�gy r�szre osztja.

Mer�legesen metszik egym�stt,ha a s�kot n�gy egybev�g� s�knegyedre osztj�k.

K�t k�t s�khejzete a t�rben lehet metsz�,ekkor a k�t s�k egy egyenesben metszi egym�st (pl,a kocka k�t egym�ssal �rintkez� oldala),

vagy p�rhuzamos,ekkor nincs k�z�s pontja a k�t s�knak(pl,a kocka egym�ssal szembeni oldala).

Az egyenes �s a s�k k�lcs�n�s hejzete a t�rben h�romf�le lehet:illeszked�,az egyenes minden pontja k�z�s a s�kkal.

(pl,egy s�kra helyezett kock�nak a s�kon fekv� �l egyenese illeszkedik a s�kra),

P�rhuzamos:ebben az esetben egy egyenesnek nincs k�z�s pontja a s�kkal (pl,egy s�kra helyezett kock�nak az alappal p�rhuzamos oldal b�rmelyik �l egyenese)�s lehet metsz�: 

ha az egyenesnek egy k�z�s pontja van a s�kkal,ekkor metszi (d�fi) a s�kot,a k�z�s pont az egyenes d�f�spontja(pl,az el�bbi p�ld�ban a kocka egyik s�kra mer�leges �legyenese).    

                 3. t�tel

Sz�gek �s sz�gp�rok

A sz�g olyan s�kr�sz, amelyet egy pontb�l kiindul� k�t f�legyenes hat�rol.

A sz�get alkot� egyenesek a sz�g sz�rai, k�z�s pontjuk a sz�g cs�csa.

A sz�g sz�rai �ltal�ban k�t sz�get hat�roznak meg, az ezek k�z�l sz�ba j�v� sz�get k�r�vvel jel�lj�k, ezt a r�szt sz�gtartom�nynak nevezz�k.

A sz�get megadhatjuk h�rom nagybet�vel, vagy a sz�gtartom�nyba �rt, a cs�cs bet�j�nek megfelel� g�r�g kisbet�vel.    

A sz�get sz�rmaztathatjuk forg�sb�l is.

�gy,hogy k�t k�z�s kezd�pont�,egym�st szed� f�legyenes k�z�l az egyiket a kezd�pont k�r�l elforgatjuk.

Ha a mozg� sz�r elforgat�sa az �ramutat� j�r�s�val ellenkez� ir�ny�,akkor a sz�get pozit�vnak,ha egyez� ir�ny�,negat�vnak mondjuk.  

Ha a mozg� sz�r egy teljes k�r�lforg�st �r le,vagyis eredeti hejzet�be ker�l,akkor teljes sz�get kapunk.

ezt 360 egyenl� r�szre osztva 1  egys�get kapunk,1 egys�g egy fok,teh�t a teljes sz�g 360 fok.

A fok60-ad  r�sze a perc,a perc60-ad  r�sze a m�sodperc.

A sz�get radi�nlis m�rhetj�k,1 fok =p/180 rad, ez megk�zel�t�leg 0.017 rad,vagyis 180 fok =p radi�n.   

Ha a mozg� sz�gr f�lk�rt �r le akkor egyenes sz�gr�l besz�l�nk,nagys�ga 180 fok.

Ha csak negyed forg�st v�gez,akkor der�ksz�gr�l van sz�,nagys�ga 90 fok.

A der�ksz�gn�l kissebb sz�get hegyes-sz�gnek nevezz�k. 

A der�ksz�gn�l nagyobb sz�get,de az egyenes sz�gn�l kissebbet tompasz�gnek nevezz�k.

Az egyenes sz�gn�l nagyobb sz�g a homor�sz�g.

Az egyenes-sz�gn�l kissebb sz�geket egy�ttesen dombor�sz�geknek nevezz�k.

                   4. t�tel

Nevezetesebb sz�gp�rok

K�t egyenes metsz�spontja k�r�l keletkez� sz�gek k�z�l az egym�ssal szemben fekv� sz�gek a cs�cssz�gek,az egym�s mellettiek a mell�ksz�gek.

A cs�cssz�gek egyenl�ek,a mell�ksz�gek 180 fokra eg�sz�tik ki egym�st,az ilyen sz�geket kieg�sz�t� sz�geknek is nevezz�k.

Azok a sz�gek amelyeknek sz�rai egym�ssal p�rhuzamosak �s megegyez� ir�ny�ak,az egy�ll�s� sz�gek.

Azok amelyeknek sz�rai egym�ssal p�rhuzamosak,de ellent�tes ir�ny�ak,a v�lt�sz�gek.

Az egy�ll�s� sz�gek �s a v�lt�sz�gek egyenl�ek.

Azokat az egym�ssal p�rhuzamos sz�r� sz�geket,amelyeknek az egyik sz�ruk megegyez� ir�ny�,a m�sik sz�ruk azonban ellent�tes ir�ny�,a t�rs-sz�gek.

A t�rs-sz�gek kieg�sz�t� sz�gek(egym�st 180 fokra eg�sz�tik ki).

Ha k�t sz�g sz�rai mer�legesek egym�sra �sa sz�gp�r mindk�t sz�ge hegyes sz�g vagy mindk�t sz�ge tompasz�g,akkor a k�t sz�g egym�ssal egyenl�.      

Ha az egyik hegyes sz�g a m�sik tompasz�g, akkor a k�t sz�g �sszegge 180 fok.

Ha k�t sz�g egym�st 90 fokra eg�sz�ti ki,p�tsz�geknek nevezz�k a sz�gp�rt.

                   5. t�tel

H�romsz�gek

A s�knak h�rom egyenes szakasszal hat�rolt r�sze.

A h�romsz�gek oldalai szerint lehetnek:

egyenl�oldal�ak,ha mind h�rom oldaluk egyenl�,egyenl�sz�r�ak,

ha k�t oldaluk egyenl�

Sz�gei szerint lehetnek:

hegyes-sz�gek,ha mind h�rom sz�g�k hegyes,der�k-sz�gek,

ha az egyik sz�g der�k-sz�g(a der�ksz�get bez�r� oldalak a befog�k,a der�ksz�ggel szemben fekv� oldal az �tfog�) �s tompasz�g�ek,

ha az egyik sz�g tompasz�g.

A sz�gek �sszege minden h�romsz�gben 180 fok.

A h�romsz�g egyik cs�cs�b�l a vele szemk�szti oldalra szerkesztett mer�leges a h�romsz�g magass�gvonala,

a h�rom magass�gvonal egy pontban metszi egym�st,ez a h�romsz�g magass�gpontja.

A h�romsz�g egyik cs�cs�t a szemk�szti oldal felez�pontj�val �sszek�t� szakasz a h�romsz�g s�lyvonala.

A s�lyvonalak a h�romsz�g s�lypontj�ban metszik egym�st.

A s�lypont a s�lyvonalat 2/1 ar�nyban osztja.

A h�romsz�g sz�gfelez�je az az egyenes,amely valamely bels� sz�g�t felezi.

A h�rom sz�gfelez� egy pontban metszik egym�st,ez a pont a h�romsz�gbe �rhat� k�r k�z�ppontja.

A sz�gfelez� azon pontok m�rtani helye,

melyek a sz�gsz�rait�l egyenl� t�vols�gra vannak.

A h�romsz�g oldalfelez� mer�legesei egy ponton metszik egym�st,ez a pont a h�romsz�g k�r� �rhat� k�r k�z�ppontja.

                  6. t�tel

Pitagoras t�tel:

A der�ksz�g� h�romsz�gben az �tfog� n�gyzete egyenl� a k�t befog� n�gyzet�nek �sszeg�vel.

A n�gyzet + b n�gyzet =c n�gyzet.

A h�romsz�g ter�lete:az alaphoz tartoz� magass�g �s az alap szorzat,

osztva 2-vel:

T=a*m/2.

Ker�lete az oldalak �sszege: 

K=a+b+c.

7. t�tel

N�gysz�gek

A s�knak n�gy egyenes szakasszal hat�rolt r�sz�t n�gysz�gnek nevezz�k.

N�gy cs�csa �s n�gy sz�ge van.

Sz�geinek �sszege 360 fok.

A n�gysz�g szemben lev� cs�csait �sszek�t� egyenes szakaszt �tl�nak nevezz�k a n�gysz�gnek k�t �tl�ja van.

A n�gysz�gek a k�vetkez� s�kidomok:

szab�lytalan n�gysz�g,palarelogramma,�ltal�nos paralelogramma,t�glalap,rombusz,n�gyzet;trap�z �s a deltoid. 

Palarelogramma:

Azt a n�gysz�get, amelynek minndk�tp�r szemk�szti oldala p�rhuzamos, paralelogramm�nak nevezz�k.

A szemben l�v� oldalayi egyenl�k. 

K�t hegyes-sz�ge(egym�ssal szemben)�s k�t tompasz�ge(egym�ssal szemben) van.       

�tl�i felezik egym�st.

T=a*m,K=2*(a+b).

T�glalap:

Olyan paralelogramma, amelynek szembe lev� oldalai egyenl�k.

Sz�gei egyenl�k,teh�t der�ksz�gek.

�tl�i egyenl�k �s felezik egym�st �s a cs�csn�l lev� sz�get.

T=a*b,K=2*(a+b).

Rombusz:

Olyan paralelogramma, amelynek oldalai �s szembenlev� sz�gei egyenl�k.

�tl�i mer�legesek �s felezik egym�st.

T=a*m,K=4*a.

                  8. t�tel

N�gyzet

A n�gyzet olyan paralelogramma,amelynek oldalai �s sz�gei egyenl�k.

�tl�i mer�legesek �s felezik egym�st �s a cs�csn�l lev� sz�get.

T=a*a(a a n�gyzeten),K=4*a.

Trap�z:

Olyan n�gysz�g,amelynek csak egy p�rhuzamos oldalp�rja van.

A p�rhuzamos oldalak a trap�z alapjai,a nem p�rhuzamosak a trap�z sz�rai.

A p�rhuzamos oldalak egym�st�l val� t�vols�ga a trap�z magass�ga.

Az egyenl�sz�r� trap�z �tl�i egyenl�k egym�ssal,az alapon fekv� sz�gek egyenl�k.

T=(a+c)/2*m,K=a+b+c+d.

               9. t�tel

Deltoid:

Olyan n�gysz�g,amelynek k�t k�t szomsz�dos oldala egyenl�. 

A nem egyenl� oldalai �ltal bez�rt sz�gek egyenl�k.

�tl�i mer�legesek  egym�sra,a hosszabbik �tl� (a f� �tl�) ez elfelezi a mell�k�tl�t (d) �s az egyenl� oldalak �ltal bez�rt sz�geket.   

T=(d*e)/2,K=2*(a+b).