|
Halmazok
Déni 2008.02.05. 17:29
Halmazelmélet, müveletek halmazokkal...
I. Halmazok
1.) Halmazelmélet
A halmaz és a halmaz elemeinek fogalmát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. ( A halmaz bizonyos meghatározott, különböző dolgoknak az összessége. A halmazt alkotó objektumok a halmaz elemei. Egy halmazban annak " eleme csak egyszer fordul elő. )
Egy halmazt adottnak tekintünk, ha " szobajövő eleméről egyértelműen eldöntöttük, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem.
Két halmaz akkor és csak akkor egyértelmű, ha az elemeik azonosak.
Halmazok jelölése : NAGYBETŰ
Halmazok megadása :
a.) vegyes halmazok esetén a halmaz elemeinek felsorolásával pl. : A:={hétfő; kedd;...;vasárnap}
B:={-1,0,1}
b.) a halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával pl. :
C:={az iskola V.b osztályának tanulói}
D:={a természetes számok}
Az üres, elem nélküli halmazt üres halmaznak nevezzük
Jelölése : Ć
A halmaz elemeinek száma jelölésekor a halmazt abszolút érték jelek közé rakjuk :
ďAď = 7
ďBď = 3
A halmazok - elemeinek számát tekintve véges, illetve végtelen halmazokat különböztetünk meg. Pl. :
Véges : E:={ x ďx egész és -5 Ł x Ł 5 }
Végtelen : F:={ az 1 cm sugarú körön belül eső pontok }
Halmaz ábrázolása : a sík valamely tartományával.
Halmaz elemeinek ábrázolása : a tartomány pontjaival.
-5 1 4 5 2 3
-4 -2 0 -3 -1
|
E B
-1 0
1
Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezünk, ha az A halmaz " eleme a B halmaznak is eleme.
Jelölése : AÍB Ű , ha "xÎA -ra xÎB
Az A halmazt a B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz részhalmaza B -nek, és a B halmaznak van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme A -nak.
Jelölése :AĚ B (Ü AÍB és AšB)
Pl. : X:={10,11,12,13,14} A Ě B Ű ,ha xÎA -ra xÎB és $ yÎB, hogy yĎA
Y:={ x ˝x Î IN; 10
Y Ě X
2.) Műveletek halmazokkal
a.) Unióképzés
Az A és B halmaz uniójainak (egyesítéseinek; összegeinek) nevezzük azokat az elemeknek a halmazát, amelynek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei.
Jelölése : AČB (vagy az A vagy a B halmaznak az eleme)
A B
AČB={ x ˝ xÎA vagy xÎB }
AČB
Tulajdonságai :
n AČA=A / idempotencia /
n AČB=BČA / kommutatív /
n (AČB)ČC=AČ(BČC)=AČBČC / asszociatív /
n AČ(BÇC)=(AČB)Ç(AČC)
AÇ( BČC)=(AČB)Č(AÇC) / disztributívitás /
b.) Metszet képzés
Az A és B halmaz metszetének (közös részének; szorzatának) nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek az A és B halmazok mindegyikének elemei.
Jelölése : AÇB A B
AÇB={ x˝xÎA és xÎB }
AÇB
Tulajdonságai :
n AÇA=A / idempotencia /
n AÇB=BÇA / kommutatív /
n (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)=AÇBÇC / asszociatív /
n AČ(BÇC)=(AČB)Ç(AČC)
AÇ( BČC)=(AČB)Č(AÇC) / disztributívitás /
c.) Különbségképzés
Az A és B halmazok ( ebben a sorban tekintve ) különbségüknek nevezzük az A halmaz azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei a B halmaznak.
Jelölése : A \ B
A B
A \ B={ x˝xÎA és xĎB }
A \ B
Tulajdonságai : A B
n A \ A = Ć
n
A \ Ć = A
n Ć \ A = Ć
n (A \ B)Ç(B \ A)= Ć
n (A \ B)ČB=AČB
n A \ B=A \ (AÇB)=(AČB) \ B
Az A és B halmaz diszjunkt, ha metszetük az üres halmaz. Pl. : ha BĚA, akkor B Ç A\B = Ć diszjunkt.
d.) Halmaz komplementere ( kiegészítő halmaz )
Egy H ( nem üres ) halmaznak legyen egy részhalma A . A H \ A halmazt az egy halmaz H alaphalmazra vonatkozó komplementerének nevezzük
Jelölése : A
H A Ě H
A
A
A=H \ A
Tulajdonságai :
n AČB = AÇB
n AÇB = AČB
n AČA = H
n AÇA = Ć
n A=A
e.) Szimmetrikus differencia
Két adott halmaz, A és B szimmetrikus differenciájának nevezzük azt a műveletet így definiáljuk : A B= (A \ B) Č (B \ A)
Jelölése : A B A B
A B
Tulajdonságai :
n A B = B A
n (A B) C = A (B C)
n A A = Ć
n A Ć = A
n A (A B) = B
| 
AJÁNLOM AZ OLDALT
