|
Halmazok
Dni 2008.02.05. 17:29
Halmazelmlet, mveletek halmazokkal...
I. Halmazok
1.) Halmazelmlet
A halmaz s a halmaz elemeinek fogalmt alapfogalomnak tekintjk, nem definiljuk. ( A halmaz bizonyos meghatrozott, klnbz dolgoknak az sszessge. A halmazt alkot objektumok a halmaz elemei. Egy halmazban annak " eleme csak egyszer fordul el. )
Egy halmazt adottnak tekintnk, ha " szobajv elemrl egyrtelmen eldntttk, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem.
Kt halmaz akkor s csak akkor egyrtelm, ha az elemeik azonosak.
Halmazok jellse : NAGYBET
Halmazok megadsa :
a.) vegyes halmazok esetn a halmaz elemeinek felsorolsval pl. : A:={htf; kedd;...;vasrnap}
B:={-1,0,1}
b.) a halmaz elemeire jellemz tulajdonsg megadsval pl. :
C:={az iskola V.b osztlynak tanuli}
D:={a termszetes szmok}
Az res, elem nlkli halmazt res halmaznak nevezzk
Jellse :
A halmaz elemeinek szma jellsekor a halmazt abszolt rtk jelek kz rakjuk :
A = 7
B = 3
A halmazok - elemeinek szmt tekintve vges, illetve vgtelen halmazokat klnbztetnk meg. Pl. :
Vges : E:={ x x egsz s -5 x 5 }
Vgtelen : F:={ az 1 cm sugar krn bell es pontok }
Halmaz brzolsa : a sk valamely tartomnyval.
Halmaz elemeinek brzolsa : a tartomny pontjaival.
-5 1 4 5 2 3
-4 -2 0 -3 -1
|
E B
-1 0
1
Az A halmazt a B halmaz rszhalmaznak neveznk, ha az A halmaz " eleme a B halmaznak is eleme.
Jellse : AB , ha "xA -ra xB
Az A halmazt a B halmaz valdi rszhalmaznak nevezzk, ha az A halmaz rszhalmaza B -nek, s a B halmaznak van legalbb egy olyan eleme, amely nem eleme A -nak.
Jellse :A B ( AB s AB)
Pl. : X:={10,11,12,13,14} A B ,ha xA -ra xB s $ yB, hogy yA
Y:={ x x IN; 10
Y X
2.) Mveletek halmazokkal
a.) Unikpzs
Az A s B halmaz unijainak (egyestseinek; sszegeinek) nevezzk azokat az elemeknek a halmazt, amelynek az A s B halmazok kzl legalbb az egyiknek elemei.
Jellse : AB (vagy az A vagy a B halmaznak az eleme)
A B
AB={ x xA vagy xB }
AB
Tulajdonsgai :
n AA=A / idempotencia /
n AB=BA / kommutatv /
n (AB)C=A(BC)=ABC / asszociatv /
n A(BC)=(AB)(AC)
A( BC)=(AB)(AC) / disztributvits /
b.) Metszet kpzs
Az A s B halmaz metszetnek (kzs rsznek; szorzatnak) nevezzk azoknak az elemeknek a halmazt, amelyek az A s B halmazok mindegyiknek elemei.
Jellse : AB A B
AB={ xxA s xB }
AB
Tulajdonsgai :
n AA=A / idempotencia /
n AB=BA / kommutatv /
n (AB)C=A(BC)=ABC / asszociatv /
n A(BC)=(AB)(AC)
A( BC)=(AB)(AC) / disztributvits /
c.) Klnbsgkpzs
Az A s B halmazok ( ebben a sorban tekintve ) klnbsgknek nevezzk az A halmaz azon elemeinek halmazt, amelyek nem elemei a B halmaznak.
Jellse : A \ B
A B
A \ B={ xxA s xB }
A \ B
Tulajdonsgai : A B
n A \ A =
n
A \ = A
n \ A =
n (A \ B)(B \ A)=
n (A \ B)B=AB
n A \ B=A \ (AB)=(AB) \ B
Az A s B halmaz diszjunkt, ha metszetk az res halmaz. Pl. : ha BA, akkor B A\B = diszjunkt.
d.) Halmaz komplementere ( kiegszt halmaz )
Egy H ( nem res ) halmaznak legyen egy rszhalma A . A H \ A halmazt az egy halmaz H alaphalmazra vonatkoz komplementernek nevezzk
Jellse : A
H A H
A
A
A=H \ A
Tulajdonsgai :
n AB = AB
n AB = AB
n AA = H
n AA =
n A=A
e.) Szimmetrikus differencia
Kt adott halmaz, A s B szimmetrikus differencijnak nevezzk azt a mveletet gy definiljuk : A B= (A \ B) (B \ A)
Jellse : A B A B
A B
Tulajdonsgai :
n A B = B A
n (A B) C = A (B C)
n A A =
n A = A
n A (A B) = B
| 
AJÁNLOM AZ OLDALT
