|
Matematikai Logika
Dni 2008.02.05. 17:33
Matematikai Logika
A kznapi letben, de legfkpp a matematikban gyakran hasznlunk logikai kvetkeztetsi eljrsokat, gy nevezve azt a gondolkodsi folyamatot amelyek sorn bizonyos lltsok (permisszk) igazsgbl kvetkeztetnk valamilyen llts kommunikci igazsgra.
Mikor lesz egy kvetkeztets logikailag helyes?
Helyes egy kvetkeztets, mert a konklzi hamissga sszeegyeztethetetlen a permisszk igazsgval.
Pl.: Ha 3/1960, akkor 6/1960
De nem igaz, hogy 31960
Teht az sem igaz, hogy 6/1960
Helyes logikai kvetkeztetets az amely minden lehetsges hasonl esetben clravezet.
1,Pl.: A; (A s B ) C ; nem C
nem B csak igaz lehet
2,Pl.: A B nem A
nem B (igaz vagy hamis)
A: Brazilia fvrosa Buenos Aires
B: Buenos Aires Dl-Amerikhoz tartozik
AB: Ha Brazilia fvrosa Buenos Aires, akkor Buenos Aires Bl Amerikhoz tartozik. (igaz)
nem A : nem igaz, hogy Brazilia fvrosa Buenos Aires (igaz)
Konklzi: nem B nemigaz, hogy Buenos Aires Dl Amerikban van (hamis)
Ez a kvetkeztets logikailag nem helyes
Def: egy kvetkeztetst akkor tekintnk logikailag helyesnek, ha minden olyan esetben, amikor a benne szerepl egyszer tovbb mr nem bonthat kijelentsek helyre tetszleges olyan kijelentseket tesznk, amelyeknl a premisszk mind igazak lesznek, a konklzi is mindg igaz lesz.
Az tlet fogalma: Azok a kijelentsek amelyek egyrtelmen igazak vagy hamisak
Logikai rtkek: az 'igaz' s a 'hamis' tulajdonsgok
Matematikai logika: a gondolkods matematikai formban kifejezhet, a matematikai eszzkre vizsglhat szvegsszefggsak feltrsval foglalkozik.
Mveletek tletekkel
A logikai mveletek: Az tlet kalkulus mveletei tletekbl gymint komponensekbl olyan tleteket hoznak ltre, amelyek logikai rtkt komponenseik logikai rtkei egyrtelmen meghatrozzk.
Negci: mvelete egy tletnek a tagadsa. e mvelet eredmnye akkor s csak akkor igaz tlet, ha a mvelet komponense hamis. jele :
Konjunkci: mvelete kt tlet az "s" ktszval kapcsol ssze e mvelet logikai rtke akkor s csak akkor igaz, ha mindkt komponensnek logikai rtke igaz jele:
|
A
|
B
|
AB
|
|
i
|
i
|
i
|
|
i
|
h
|
h
|
|
h
|
i
|
h
|
|
h
|
h
|
h
|
Diszjunkci: mvelete kt tlet a megenged "vagy" ktszval kapcsol ssze. Logikai rtke akkor s csak akkor hamis ha mindkt komponense diszjunkci vagyis hamis jele:
|
A
|
B
|
AB
|
|
i
|
i
|
i
|
|
i
|
h
|
i
|
|
h
|
i
|
i
|
|
h
|
h
|
h
|
Disztributivits: (AB)(AC)=A(BC)
(AB) (AB=A(BC)
Elnyelsi szablyok: A(AB)=A
A(AB)=A
Idempotencia (rvidtsi szably) A logikai algebrban nincs 1-nl nagyobb kitev s 1-nl nagyobb egythat sem.
AA=A
AA=A
De Morgan azonossgok:(AB)=AB ; (AB)=AB
Ketts negci: A=A
Impikci: P s Q itletbl "ha P, akkor Q" alak itletet hoz ltre. jele PQ
P (eltag); Q (uttag)
rendszerint hatrozatlan logikai rtk itletek sszekapcsolsra hasznljuk.
Implikci akkor s csak akkor hamis ha az eltag igaz s az uttag hamis.
Teht a P s Q tletek, akkor a PQ implikcii ltalban a nem P vagy Q tleteket rtjk ez akkor s csak akkor hamis, ha P igaz s Q hamis. Ha P akkor Q tlat logikai rtke mindg azonos a PQ imlika logikai rtkvel.
Def: Formula: Az tletkalkulusban a log- rtkeket a log-i vltozkat s a rajtuk vgzett mveleteket ler jelsorozatokat az itlet kalkulus formulinak nevezzk
Def: Kt formult azonosnak mondunk ha e kt formula a bennk szerepl vltozk lehetsges rtke esetn ugyanazt a logikai rtket lltjuk el.
Ekvivalencia: a P s Q tletre " P akkor s csak akkor, ha Q" alak tletet hoz ltre jele: PQ
A PQ alak tletek logikai rtkt akkor s csak akkor tekintjk igaznak ha az egyik komponens igazsga esetn a msik is igaz, az az, ha vagy mindkt komponens igaz, vagy mindkt komponens hamis.
Tulajdonsgok:
a. Az implikci nem kommutatn (rtktblzata nem szimmetrikus a ftlra)
b. Az ekvivalencia kommutatv
AB = B A
Tovbbi mveletek:
"Vagy" hrom jellemzse
a. A B : A s B kzl legalbb az egyik igaz (megenged vagy)
b. A B : A s B kzl pontosan az egyik igaz (kizr vagy)
c. A B : A s B kzl legfljebb az egyik igaz (sszefrhetetlensget kifejez vagy)
Sem-sem mvelet: Jele
Kommutativits:
A B = B A
A B = B A
A B = B A
Asszociativits:
(A B) C A (B C), mert A=B = i s C= k, akkor bal oldal igaz, jobb oldal hamis.
(A B) C A (B C), mert A=B = k s C= i, akkor bal oldal hamis, jobb oldal igaz.
| 
AJÁNLOM AZ OLDALT
