|
Matematikai Logika
Déni 2008.02.05. 17:33
Hát igen ilyen is van! :D
Matematikai Logika
A köznapi életben, de legfőképp a matematikában gyakran használunk logikai következtetési eljárásokat, így nevezve azt a gondolkodási folyamatot amelyek során bizonyos állítások (permisszák) igazságából következtetünk valamilyen állítás kommunikáció igazságára.
Mikor lesz egy következtetés logikailag helyes?
Helyes egy következtetés, mert a konklúzió hamissága összeegyeztethetetlen a permisszák igazságával.
Pl.: Ha 3/1960, akkor 6/1960
De nem igaz, hogy 31960
Tehát az sem igaz, hogy 6/1960
Helyes logikai következtetetés az amely minden lehetséges hasonló esetben célravezető.
1,Pl.: A; (A és B ) ® C ; nem C
nem B ® csak igaz lehet
2,Pl.: A ® B nem A
nem B (igaz vagy hamis)
A: Brazilia fővárosa Buenos Aires
B: Buenos Aires Dél-Amerikához tartozik
A®B: Ha Brazilia fővárosa Buenos Aires, akkor Buenos Aires Bél Amerikához tartozik. (igaz)
nem A : nem igaz, hogy Brazilia fővárosa Buenos Aires (igaz)
Konklúzió: nem B nemigaz, hogy Buenos Aires Dél Amerikában van (hamis)
Ez a következtetés logikailag nem helyes
Def: egy következtetést akkor tekintünk logikailag helyesnek, ha minden olyan esetben, amikor a benne szereplő egyszerű tovább már nem bontható kijelentések helyére tetszőleges olyan kijelentéseket teszünk, amelyeknél a premisszák mind igazak lesznek, a konklúzió is mindíg igaz lesz.
Az ítélet fogalma: Azok a kijelentések amelyek egyértelműen igazak vagy hamisak
Logikai értékek: az 'igaz' és a 'hamis' tulajdonságok
Matematikai logika: a gondolkodás matematikai formában kifejezhető, a matematikai eszözökre vizsgálható szövegösszefüggésak feltárásával foglalkozik.
Műveletek ítéletekkel
A logikai műveletek: Az ítélet kalkulus műveletei ítéletekből úgymint komponensekből olyan ítéleteket hoznak létre, amelyek logikai értékét komponenseik logikai értékei egyértelműen meghatározzák.
Negáció: művelete egy ítéletnek a tagadása. e művelet eredménye akkor és csak akkor igaz ítélet, ha a művelet komponense hamis. jele : ů
Konjunkció: művelete két ítélet az "és" kötöszóval kapcsol össze e művelet logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mindkét komponensének logikai értéke igaz jele: Ů
|
A
|
B
|
AŮB
|
|
i
|
i
|
i
|
|
i
|
h
|
h
|
|
h
|
i
|
h
|
|
h
|
h
|
h
|
Diszjunkció: művelete két ítélet a megengedő "vagy" kötőszóval kapcsol össze. Logikai értéke akkor és csak akkor hamis ha mindkét komponense diszjunkció vagyis hamis jele: Ú
|
A
|
B
|
AÚB
|
|
i
|
i
|
i
|
|
i
|
h
|
i
|
|
h
|
i
|
i
|
|
h
|
h
|
h
|
Disztributivitás: (AŮB)Ú(AŮC)=AŮ(BÚC)
(AÚB) Ů(AÚB=AÚ(BŮC)
Elnyelési szabályok: AŮ(AÚB)=A
AÚ(AŮB)=A
Idempotencia (rövidítési szabály) A logikai algebrában nincs 1-nél nagyobb kitevő és 1-nél nagyobb együtható sem.
AŮA=A
AÚA=A
De Morgan azonosságok:ů(AŮB)=ůAÚůB ; ů(AÚB)=ůAŮůB
Kettős negáció: ůůA=A
Impikáció: P és Q itéletből "ha P, akkor Q" alakú itéletet hoz létre. jele P®Q
P (előtag); Q (utótag)
rendszerint határozatlan logikai értékű itéletek összekapcsolására használjuk.
Implikáció akkor és csak akkor hamis ha az előtag igaz és az utótag hamis.
Tehát a P és Q ítéletek, akkor a P®Q implikációi általában a nem P vagy Q ítéleteket értjük ez akkor és csak akkor hamis, ha P igaz és Q hamis. Ha P akkor Q ítélat logikai értéke mindíg azonos a P®Q imlika logikai értékével.
Def: Formula: Az ítéletkalkulusban a log- értékeket a log-i változókat és a rajtuk végzett műveleteket leíró jelsorozatokat az itélet kalkulus formuláinak nevezzük
Def: Két formulát azonosnak mondunk ha e két formula a bennük szereplő változók lehetséges értéke esetén ugyanazt a logikai értéket állítjuk elő.
Ekvivalencia: a P és Q ítéletre " P akkor és csak akkor, ha Q" alakú ítéletet hoz létre jele: P«Q
A P«Q alakú ítéletek logikai értékét akkor és csak akkor tekintjük igaznak ha az egyik komponens igazsága esetén a másik is igaz, az az, ha vagy mindkét komponens igaz, vagy mindkét komponens hamis.
Tulajdonságok:
a. Az implikáció nem kommutatín (Értéktáblázata nem szimmetrikus a főátlóra)
b. Az ekvivalencia kommutatív
A«B = B « A
További műveletek:
"Vagy" három jellemzése
a. A Č B : A és B közül legalább az egyik igaz (megengedő vagy)
b. A Ĺ B : A és B közül pontosan az egyik igaz (kizáró vagy)
c. A ˝ B : A és B közül legföljebb az egyik igaz (összeférhetetlenséget kifejező vagy)
Sem-sem művelet: Jele Ż
Kommutativitás:
A Ż B = B Ż A
A ˝ B = B ˝ A
A Ĺ B = B Ĺ A
Asszociativitás:
(A Ż B) Ż C ą A Ż (B Ż C), mert ˝A˝=˝B˝ = i és ˝C˝= k, akkor bal oldal igaz, jobb oldal hamis.
(A ˝ B) ˝ C ą A ˝ (B ˝ C), mert ˝A˝=˝B˝ = k és ˝C˝= i, akkor bal oldal hamis, jobb oldal igaz.
| 
AJÁNLOM AZ OLDALT
