Kerület és terület

Egy téglalap
A) A 14. ábrán látható téglalap két szomszédos oldalának hossza a és b. Ennek a téglalapnak a

kerülete: K = 2(a+b),

területe: T = ab.

Ebből speciális esetként az aoldalhosszúságúnégyzet

kerülete: K = 4a,

területe: T = a2.

Paralelogramma
Paralelogramma kerülete és területe

B) Az ábraparalelogrammájánála két szomszédos oldal hossza a és b, az aoldalához tartozó magasságama.

A paralelogrammakerülete: K = 2(a+b).

Egy paralelogramma
Tapasztalatainkkal összhangban van az az állítás, hogy bármely paralelogrammát vele egyenlő területűtéglalappá alakíthatunk. Az ábra jelölései szerint az ABCD paralelogrammaterülete egyenlő a QQ’CD téglalapterületével. Ugyanis, ha az ábra b) részén látható AQD derékszögű háromszöget (gondolatban) levágjuk, és azt úgy illesztjük a maradék síkidom BC oldalához, ahogy azt a c) ábra mutatja, akkor a QQ’CD téglalapot kapjuk. Területük egyenlő:

TABCD
A paralelogrammaterülete: T
Az előző ábra paralelogrammájánaktéglalappá történő átdarabolása nagyon szemléletes volt. A következő ábraparalelogrammájának átdarabolásáról ezt nem mondhatjuk.
Más módon kell bizonyítani, hogy bármely paralelogrammát átalakíthatunk vele egyenlő területűtéglalappá.
Az ábra ABCD paralelogrammájának az AB oldala a hosszúságú. Az AB és a CD egyenesekpárhuzamosak. Látható módon az AB egyenesre mérjük fel az A’B’ = a hosszúságú szakaszt és képezzük az A’B’C’D’ téglalapot.
Az ABCD paraParalelogrammából téglalap
lelogramma és az A’B’C’D’ téglalapalapja és magassága egyenlő. Azt állítjuk, hogy ezek egyenlő területűek.
Az AA’D’D négyszög egy vektorral történő eltolással átvihető a BB’C’C négyszögbe, ezért ez a két négyszög egybevágó.
Az utolsó ábrán elkülönítve mutatjuk a két egybevágó, azaz egyenlő területű négyszöget. Mindkettőnek része a BA’D’C négyszög. Ha ezt mind az AA’D’D, mind a BB’C’C négyszögből elvesszük, akkor a maradék területek is egyenlők, azaz
TABCD
Ezzel bebizonyítottuk, hogy bármely paralelogramma egyenlő területű egy ugyanakkora alaphosszúságú és ugyanakkora magasságútéglalappal.
Megjegyzések a paralelogrammáról

Tapasztalatainkkal összhangban van az az állítás, hogy bármely paralelogrammát vele egyenlő területűtéglalappá alakíthatunk. A 15. ábra jelölései szerint az ABCDparalelogrammaterülete egyenlő a QQ’CDtéglalapterületével. Ugyanis, ha az ábrab) részén látható AQDderékszögű háromszöget (gondolatban) levágjuk, és azt úgy illesztjük a maradék síkidomBColdalához, ahogy azt a c) ábra mutatja, akkor a QQ’CDtéglalapot kapjuk. Területük egyenlő: TABCD.

II Megjegyzés

A 15. ábraparalelogrammájánaktéglalappá történő átdarabolása nagyon szemléletes volt. A 16. ábra paralelogrammájának átdarabolásáról ezt nem mondhatjuk.

Más módon kell bizonyítanunk, hogy bármely paralelogrammát átalakíthatunk vele egyenlő területűtéglalappá.

A 17. ábra ABCDparalelogrammájának az ABoldalaahosszúságú. Az AB és CDegyenesekpárhuzamosak. A 17. ábrán látható módon az ABegyenesre mérjük fel az A’B’ = ahosszúságúszakaszt és képezzük az A’B’C’D’téglalapot.

Az ABCD paralelogramma és az A’B’C’D’ téglalap alapja és magassága egyenlő. Azt állítjuk, hogy ezek egyenlő területűek.

Az AA’D’D négyszög egy vektorral történő eltolással átvihető a BB’C’C négyszögbe, ezért ez a két négyszög egybevágó.

A 18. ábrán elkülönítve mutatjuk a két egybevágó, azaz egyenlő területű négyszöget. Mindkettőnek része a BA’D’C négyszög. Ha ezt mind az AA’D’D, mind a BB’C’C négyszögből elvesszük, akkor a maradék területek is egyenlők, azaz

TABCD.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy bármely paralelogramma egyenlő területű egy ugyanakkora alaphosszúságú és ugyanakkora magasságú téglalappal.

Maradék területek

A háromszögterületét a paralelogrammaterületének segítségével kapjuk meg. A 19. ábra jelölése szerint az ABC háromszöget tükrözzük az AB oldal F felezőpontjára. Az eredeti háromszög és a tükörképe (melyek egybevágók) együtt a CBC’A paralelogrammát adják. Mivel C, a paralelogrammaterülete a háromszögterületének kétszerese. Ezért a háromszögterülete:
T

Háromszög
Háromszög kerülete és területe

A háromszögkerülete a három oldalhosszúságának az összege (19. ábra):

K = a + b + c.

Derékszögű háromszög
A háromszögterületét a paralelogrammaterületének segítségével kapjuk meg. A 19. ábra jelölése szerint az ABCháromszögettükrözzük az ABoldalFfelezőpontjára. Az eredeti háromszög és a tükörképe (melyek egybevágók) együtt a CBC’Aparalelogrammát adják. Mivel C, a paralelogrammaterülete a háromszögterületének a kétszerese. Ezért a háromszögterülete:

T.

, a másik oldalakra alkalmazva:

T.
Egy háromszög
Speciális háromszögek

Ennek speciális esete az a és b befogójú, c átfogójúderékszögű háromszögterülete (20. ábra).
T, vagy T.

Az a oldalhosszúságú szabályos háromszögterülete:
T, mert ma

A háromszög területének más számításai
A Heron-képlet

Ha egy háromszög három oldalhossza adott, akkor területének kiszámításához ismernünk kell az egyik oldalához tartozó magasságát. Ennek megrajzolásával két derékszögű háromszöget kapunk (27. ábra). A két derékszögű háromszögbőlPitagorasz tételével két egyenletet, azaz m-re és x-re egy kétismeretlenes egyenletrendszert írunk fel és azt megoldjuk. A magasság ismeretében kiszámíthatjuk a háromszögterületét.
Ezzel a gondolatmenettel dolgozva az a,b, c oldalhosszúságú háromszögterülete:
T
Ha a háromszögfélkerületét s-sel jelöljük, azaz s , akkor a háromszögterülete:
T=s(s−a)(s−b)(s−c).
Ezt az összefüggést nevezzük Heron-képletnek.

Ábra a Heron-képlethez
Ábra a Heron-képlethez
Terület beírt körrel

Láttuk azt is, hogy a háromszögkerületéből és a háromszögbeírt körénekϕsugarából (ábra) a háromszögterületét a
T
összefüggéssel számíthatjuk ki.
Trigonometrikus területképlet

y H) A háromszög területét felírtuk két oldalhosszának és a közbezárt szögének a segítségével is (26. ábra):

T.

Ennek következménye, hogy paralelogramma esetén .
 A paralelogrammaterülete: T

Trapéz
A trapéz kerülete és területe

Egy trapéz
D) a 21. ábrán látható ABCD trapézkerülete:
 K = a + b + c + d.

Területének meghatározásához tükrözzük a trapézt a BC oldal F felezőpontjára. A trapéz és a tükörképeegybevágók és együtt a AD’A’D paralelogrammát adják, amelynek a trapéz két párhuzamosoldalának az összege: a + c. A paralelogrammaterülete a trapézterületének a kétszerese. Ezért a trapézterülete:
T=(a+c)m2.

Telek négyzetméterár
Feladat: egy négyzetméter ára

2. példa
 A mellékelt térképvázlaton (32. ábra) t1-gyel jelölt építési telek 7,5 millió, a t2-vel jelölt pedig 12,6 millió Ft-ért eladó. Melyik esetben kedvezőbb a vásárlási ár? (azaz m2-e mikor olcsóbb)?

Deltoid
A deltoid kerülete és területe

F) Az ábrán egy deltoidot látunk. Tudjuk, hogy a két átlója egymásra merőleges. Az AC átló a deltoidot két egybevágó háromszögre bontja. A háromszögek AC oldalához tartozó magassága a másik átló fele. A deltoidKonkáv deltoid
területe:
T
A 25. ábrárKonvex deltoid

Sokszög

Általános sokszög
E) Sokszögek kerületén sokszöget határoló egyenes szakaszok hosszának az összegét értjük.
Sokszögekterületétháromszögekre bontás segítségével határozhatjuk meg. A sokszögekterülete a háromszögekterületének az összege (22. ábra).

 T = T1 + T2 + T3 +….+ Tn
Ha n darab háromszögre bontottuk a sokszöget (persze itt n nem feltétlenül a sokszögoldalszáma, mivel a háromszögekre bontás tetszés szerinti lehetséges)

Szabályos sokszög
Szabályos sokszögekterületének kiszámításánál a csúcspontokat a szabályos sokszög középpontjával ajánlatos összekötnünk.
Ekkor annyi egybevágó egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahány oldalú a szabályos sokszög (23. ábra) és ekkor a szabályos sokszög
kerülete: K = na,
területe: T = nt.

Kör
Kör kerülete és területe

G) Körkerületének, területének meghatározása jóval nehezebb feladat. Az általános iskolában - közlés alapján, bizonyítás nélkül - megtanultuk, hogy az r sugarúkör
A körkerülete: K , A körterülete: T ,
ahol π irracionális szám, századrészekre kerekítve: π.
Körív, körcikk

J) Az r sugarúkörben (29. ábra) egy αº-os középponti szöghöz tartozó körív hosszát, illetve a körcikkterületét a következő összefüggésekkel számítottuk ki:
i
T
vagy T

Kör és részei
Körszelet

Vannak olyan síkidomok, amelyek területének meghatározását valamilyen módon visszavezethetjük az előzőekben látott síkidomokterületére. Például egy körszeletterületét egy körcikk és egy háromszögterületének a segítségével tudjuk kiszámítani. A 30. ábra mutatja a lehetséges eseteket.
Körszelet szemléltetése

Területszámítás részenként
Feladat: szabálytalan síkidom

3. példa

A 33. ábrán látható síkidomhatárolóvonalaegyenes szakaszokból és egy körívből áll.

Meghatározó adatai a következők: Az AC szakaszra illeszkedik az O pont, amely középpontja az r = 6 egység sugarú, 120º-os középponti szögű BC körívnek. Az AB szakasz az O középpontú, r = 6 egység sugarúkör B pontjához tartozó érintőjére illeszkedik.

A CDEG téglalap CG oldala illeszkedik az AC szakaszra, és CG = 4, CD = 5 egység. A GE egyenesen lévő EF szakasz 9 egység hosszúságú.

Számítsuk ki a síkidomkerületét és területét.

Megoldás: szabálytalan síkidom

A síkidomot megfelelő részekre bontjuk. Az egyes részeknél külön-külön kiszámítjuk a kerülethez, illetve a területhez szükséges adatokat.
 1. Az O középpontú, r = 6 egység sugarú, 120º-os középpontiszögűkörcikkívhossza:
i.
Körcikkterülete:
t1.
2. Az ABO háromszög B csúcsánál lévő szöge 90º, az O csúcsánál lévő 60º. Az ABO háromszöget tekinthetjük egy szabályos háromszögfelének. Az AO oldala 12 egység.
A síkidomkerületén lévő szakasz: A .
Az ABO háromszögterülete: t2 .
 3. A CDEG téglalapoldalhosszai adottak.
A síkidomkerületéhez tartozó hosszúságok: CD + DE = 9.
A téglalapterülete: t3 .
 4. Az AGF derékszögű háromszögbefogói:

 AG = AO + OG = 12 + 2 = 14,
 GF = GE + EF = 5 + 9 = 14.
 Az AGF egyenlő szárú derékszögű háromszög.

A síkidomkerületéhez tartozó szakaszhosszok: E .
 A háromszög területe: t4.
Ezek miatt a síkidomkerülete:
K (hosszúságegység),
területe:
T (területegység).
Szabálytalan sokszög