Geometriai tételek (1-9 tételek)

                     1. tétel

Geometria alapfogalmak  

A geometriában a tárgyakat testeknek nevezzük.

A testet felületek (síkidomok vagy görbe felületek) Határolják.

A síkidomokat vonalak határolják.

A vonal lehet görbe és egyenes.

Ha a vonalat feldaraboljuk, akkor a vonaldarabokat pontok határolják.

A pontokat nagybetµkkel jelöljük.

Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja.

Az egyenes két pontja közé esô darabját szakasznak nevezzük.

A szakaszt a két végpontjához írt két nagybetµvel,vagy a szakasz közepére írt kisbetµvel jelöljük.

A síkidomok oldalait kisbetµkkel jelöljük,ha egyenlô oldalakról van szó,akkor azonos kisbetµvel.

A csúcsokat nagybetµvel jelöljük.

Mind az oldalak,mind a csúcsok jelölésének iránya az óra járásával ellenkezô,általában a-tól sorban haladvahasználjuk az abc betµit. 

A szögek jelölésére görög kis betµket használunk.

A leg gyakrabban használt görög kisbetµk:alfa:a béta:b.Delta:d.

Gamma: g. Pi: p.

Az ötös-hatos pont a görög kisbetµváltó.

                   2. tétel

A térelemek kölcsönös helyzete

A pontot,az egyenest és síkot térelemeknek nevezzük.

Két egyenes lehet metszô,párhuzamos és kitérô.

Két párhuzamos egyenesre vagy két metszô egyenesre mindig egy sík fektethetô.

A kitérô egyenesekre nem fektethetô sík.

Egy egyenes a síkot kétrészre,két félsíkra osztja.

Két metszô egyenes a síkot négy részre osztja.

Merôlegesen metszik egymástt,ha a síkot négy egybevágó síknegyedre osztják.

Két két síkhejzete a térben lehet metszô,ekkor a két sík egy egyenesben metszi egymást (pl,a kocka két egymással érintkezô oldala),

vagy párhuzamos,ekkor nincs közös pontja a két síknak(pl,a kocka egymással szembeni oldala).

Az egyenes és a sík kölcsönös hejzete a térben háromféle lehet:illeszkedô,az egyenes minden pontja közös a síkkal.

(pl,egy síkra helyezett kockának a síkon fekvô él egyenese illeszkedik a síkra),

Párhuzamos:ebben az esetben egy egyenesnek nincs közös pontja a síkkal (pl,egy síkra helyezett kockának az alappal párhuzamos oldal bármelyik él egyenese)és lehet metszô: 

ha az egyenesnek egy közös pontja van a síkkal,ekkor metszi (döfi) a síkot,a közös pont az egyenes döféspontja(pl,az elôbbi példában a kocka egyik síkra merôleges élegyenese).    

                 3. tétel

Szögek és szögpárok

A szög olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.

A szöget alkotó egyenesek a szög szárai, közös pontjuk a szög csúcsa.

A szög szárai általában két szöget határoznak meg, az ezek közül szóba jövő szöget körívvel jelöljük, ezt a részt szögtartománynak nevezzük.

A szöget megadhatjuk három nagybetűvel, vagy a szögtartományba írt, a csúcs betűjének megfelelő görög kisbetűvel.    

A szöget származtathatjuk forgásból is.

¦gy,hogy két közös kezdôpontú,egymást szedô félegyenes közül az egyiket a kezdôpont körül elforgatjuk.

Ha a mozgó szár elforgatása az óramutató járásával ellenkezô irányú,akkor a szöget pozitívnak,ha egyezô irányú,negatívnak mondjuk.  

Ha a mozgó szár egy teljes körülforgást ír le,vagyis eredeti hejzetébe kerül,akkor teljes szöget kapunk.

ezt 360 egyenlô részre osztva 1  egységet kapunk,1 egység egy fok,tehát a teljes szög 360 fok.

A fok60-ad  része a perc,a perc60-ad  része a másodperc.

A szöget radiánlis mérhetjük,1 fok =p/180 rad, ez megközelítôleg 0.017 rad,vagyis 180 fok =p radián.   

Ha a mozgó szágr félkört ír le akkor egyenes szögrôl beszélünk,nagysága 180 fok.

Ha csak negyed forgást végez,akkor derékszögrôl van szó,nagysága 90 fok.

A derékszögnél kissebb szöget hegyes-szögnek nevezzük. 

A derékszögnél nagyobb szöget,de az egyenes szögnél kissebbet tompaszögnek nevezzük.

Az egyenes szögnél nagyobb szög a homorúszög.

Az egyenes-szögnél kissebb szögeket együttesen domborúszögeknek nevezzük.

                   4. tétel

Nevezetesebb szögpárok

Két egyenes metszéspontja körül keletkezô szögek közül az egymással szemben fekvô szögek a csúcsszögek,az egymás mellettiek a mellékszögek.

A csúcsszögek egyenlôek,a mellékszögek 180 fokra egészítik ki egymást,az ilyen szögeket kiegészítô szögeknek is nevezzük.

Azok a szögek amelyeknek szárai egymással párhuzamosak és megegyezô irányúak,az egyállású szögek.

Azok amelyeknek szárai egymással párhuzamosak,de ellentétes irányúak,a váltószögek.

Az egyállású szögek és a váltószögek egyenlôek.

Azokat az egymással párhuzamos szárú szögeket,amelyeknek az egyik száruk megegyezô irányú,a másik száruk azonban ellentétes irányú,a társ-szögek.

A társ-szögek kiegészítô szögek(egymást 180 fokra egészítik ki).

Ha két szög szárai merôlegesek egymásra ésa szögpár mindkét szöge hegyes szög vagy mindkét szöge tompaszög,akkor a két szög egymással egyenlô.      

Ha az egyik hegyes szög a másik tompaszög, akkor a két szög összegge 180 fok.

Ha két szög egymást 90 fokra egészíti ki,pótszögeknek nevezzük a szögpárt.

                   5. tétel

Háromszögek

A síknak három egyenes szakasszal határolt része.

A háromszögek oldalai szerint lehetnek:

egyenlôoldalúak,ha mind három oldaluk egyenlô,egyenlôszárúak,

ha két oldaluk egyenlô

Szögei szerint lehetnek:

hegyes-szögek,ha mind három szögük hegyes,derék-szögek,

ha az egyik szög derék-szög(a derékszöget bezáró oldalak a befogók,a derékszöggel szemben fekvô oldal az átfogó) és tompaszögµek,

ha az egyik szög tompaszög.

A szögek összege minden háromszögben 180 fok.

A háromszög egyik csúcsából a vele szemköszti oldalra szerkesztett merôleges a háromszög magasságvonala,

a három magasságvonal egy pontban metszi egymást,ez a háromszög magasságpontja.

A háromszög egyik csúcsát a szemköszti oldal felezôpontjával összekötô szakasz a háromszög súlyvonala.

A súlyvonalak a háromszög súlypontjában metszik egymást.

A súlypont a súlyvonalat 2/1 arányban osztja.

A háromszög szögfelezôje az az egyenes,amely valamely belsô szögét felezi.

A három szögfelezô egy pontban metszik egymást,ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.

A szögfelezô azon pontok mértani helye,

melyek a szögszáraitól egyenlô távolságra vannak.

A háromszög oldalfelezô merôlegesei egy ponton metszik egymást,ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

                  6. tétel

Pitagoras tétel:

A derékszögµ háromszögben az átfogó négyzete egyenlô a két befogó négyzetének összegével.

A négyzet + b négyzet =c négyzet.

A háromszög területe:az alaphoz tartozó magasság és az alap szorzat,

osztva 2-vel:

T=a*m/2.

Kerülete az oldalak összege: 

K=a+b+c.

7. tétel

Négyszögek

A síknak négy egyenes szakasszal határolt részét négyszögnek nevezzük.

Négy csúcsa és négy szöge van.

Szögeinek összege 360 fok.

A négyszög szemben levô csúcsait összekötô egyenes szakaszt átlónak nevezzük a négyszögnek két átlója van.

A négyszögek a következô síkidomok:

szabálytalan négyszög,palarelogramma,általános paralelogramma,téglalap,rombusz,négyzet;trapéz és a deltoid. 

Palarelogramma:

Azt a négyszöget, amelynek minndkétpár szemköszti oldala párhuzamos, paralelogrammának nevezzük.

A szemben lévô oldalayi egyenlôk. 

Két hegyes-szöge(egymással szemben)és két tompaszöge(egymással szemben) van.       

Ćtlói felezik egymást.

T=a*m,K=2*(a+b).

Téglalap:

Olyan paralelogramma, amelynek szembe levô oldalai egyenlôk.

Szögei egyenlôk,tehát derékszögek.

Ćtlói egyenlôk és felezik egymást és a csúcsnál levô szöget.

T=a*b,K=2*(a+b).

Rombusz:

Olyan paralelogramma, amelynek oldalai és szembenlevô szögei egyenlôk.

Ćtlói merôlegesek és felezik egymást.

T=a*m,K=4*a.

                  8. tétel

Négyzet

A négyzet olyan paralelogramma,amelynek oldalai és szögei egyenlôk.

Ćtlói merôlegesek és felezik egymást és a csúcsnál levô szöget.

T=a*a(a a négyzeten),K=4*a.

Trapéz:

Olyan négyszög,amelynek csak egy párhuzamos oldalpárja van.

A párhuzamos oldalak a trapéz alapjai,a nem párhuzamosak a trapéz szárai.

A párhuzamos oldalak egymástól való távolsága a trapéz magassága.

Az egyenlôszárú trapéz átlói egyenlôk egymással,az alapon fekvô szögek egyenlôk.

T=(a+c)/2*m,K=a+b+c+d.

               9. tétel

Deltoid:

Olyan négyszög,amelynek két két szomszédos oldala egyenlô. 

A nem egyenlô oldalai által bezárt szögek egyenlôk.

Átlói merôlegesek  egymásra,a hosszabbik átló (a fô átló) ez elfelezi a mellékátlót (d) és az egyenlô oldalak által bezárt szögeket.   

T=(d*e)/2,K=2*(a+b).